《中考数学第二轮重难题型突破》类型三 新解题方法型（原卷版）

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类型三 新解题方法型
例1、 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算
术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数 的一种方法——更相减损术，术曰：
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约
之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然
后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差 (或减数)
即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求 91 与56 的最大公约数
　91－56＝35
56－35＝21
35－21＝14
21－1 4＝7
14 －7＝7
所以，91 与56 的最大公约数是 7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)求108 与45 的最大公约数；
(2)求三个数 78、104、143 的最大公约数．
例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法
1
解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应
用．
探究：求不等式|x－1|< 2 的解集
(1)探究|x－1|的几何意义
(2)求方程|x－1|＝2的解
(3)求不等式|x－1|<2 的解集
因为|x－1|表示数轴上 x所对应的点与 1所对应的点之间的距 离，所以求不等式解集就
转化为求这个距离小于 2的点对应的数 x的范围．
请在图②的数轴上表示|x－1|<2 的解集，并写出这个解集．
例3、古希腊数学家丢番图(公元 250 年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，
不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的
2
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