《中考数学第二轮重难题型突破》类型三 其他探究题

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类型三 其他探究题
例1、已知正方形 ABCD 中，E为对角线 BD 上一点，过 E点作 EF BD⊥交BC 于F，连接 DF，G为DF 中点，连接
EG，CG．
（1）直接写出线段 EG 与CG 的数量关系；
（2）将图 1中△BEF 绕B点逆时针旋转 45º，如图 2所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图 1中△BEF 绕B点旋转任意角度，如图 3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求
证明）
【答案】解：（1）CG=EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即 EG=CG．
证明：连接 AG，过 G点作 MN AD⊥于M，与 EF 的延长线交于 N点．
在△DAG 与△DCG 中，
∵AD=CD，∠ADG= CDG∠，D G=DG，
∴ △DAG DCG≌△ ．
∴AG=CG．
在△DMG 与△FNG 中，
∵ ∠DGM= FGN∠，FG=DG，∠MDG= NFG∠，
∴ △DMG FNG≌△ ．
∴MG=NG
在矩形 AENM 中，AM=EN．
在Rt AMG △与Rt ENG△中，
∵AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG ENG≌△ ．
∴AG=EG．
∴EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立．
例2、请阅读下列材料
1
FB
AD
C
E
G
图1
F
B
AD
C
E
G
图2
F
B
A
C
E
图3
D
F
B
AD
C
E
G
M
N
N
图 2
F
B
AD
C
E
图
3③
G
问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= ， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形 ABC
的边长．
李明同学的思路是：将△BPC 绕点 B顺时针旋转 60°，画出旋转后的图形（如图 2）．连接 PP′，可得△P′PC 是等边三
角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC= AP′C=150°∠．进而求出等
边△ABC 的边长为 ．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA= ，BP=
，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长．
【答案】解：（1）如图，将△BPC 绕点 B逆时针旋转 90°，得△BP′A，则△BPC BP′A≌△ ．
∴AP′=PC=1，BP=BP′= ．
连结 P P′，
在Rt BP′P△中，
∵BP=BP′= ，∠PBP′=9 0°，
∴P P′=2，∠BP′P=45°．
在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，AP= ，
∵，即 AP′ 2 + PP′ 2 = AP2．
∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°．
∴ ∠AP′B=135°．
∴ ∠BPC= AP′B=135°∠．
（2）过点 B作BE AP′ ⊥交AP′ 的延长线于点 E．
∴ ∠EP′ B=45°.
∴EP′=BE=1.
∴AE=2.
2
图3
图1图2
∴在Rt ABE△中，由勾股定理，得 AB= ．
∴ ∠BPC=135°，正方形边长为 ．
例3、如图 1，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点 P为射线 BC 上任意一点（点 P与点 B不重合），连结 AP，将
线段 AP 绕点 A逆时针旋转 60°得到线段 AQ，连结
QE 并延长交射线 BC 于点 F.
（1）如图 2，当 BP=BA 时，∠EBF=　　°，猜想∠QFC= °；
（2）如图 1，当点 P为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；
（3）已知线段 AB= ，设 BP=
x
，点 Q到射线 BC 的距离为 y，求 y关于
x
的函数关系式．
【答案】解: （1） 30° = 60°
　（2）=60°
不妨设 BP＞, 如图 1所示 ∵∠BAP= BAE+ EAP=60°+ EAP ∠ ∠ ∠
∠EAQ= QAP+ EAP=60°+ EAP BAP= EAQ ∠ ∠ ∠ ∴∠ ∠
在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE，∠BAP= EAQ∠， AP=AQ
∴△ABP AEQ≌△ （SAS） ∴∠AEQ= ABP=90°∠
∴∠BEF
∴= 60°
(事实上当 BP≤ 时，如图 2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）
(3)在图 1中，过点 F作FG BE⊥于点 G
∵△ABE 是等边三角形 　　
∴BE=AB= ，由（1）得 30°
3
图2
A
B
E
Q
P
FC
图
1
A
C
B
E
Q
FP
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