《中考数学第二轮重难题型突破》类型六 二次函数与三角形相似问题（解析版）

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类型六 二次函数与三角形相似问题
例1、如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x轴的另一个交点为
B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ）
⑵若点 C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 O、C、D、B四点为顶点的四边形
为平行四边形，求 D点的坐标；
⑶连接 OA、AB，如图 2，在 x轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得△OBP 与△OAB 相
似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】解:⑴ 由题意可设抛物线的解析式为
∵抛物线过原点，
∴
∴.
抛物线的解析式为 ,即
⑵如图 1,当OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时,CD\s\
up2( )∥OB,
由 得 ,
∴B(4,0),OB＝4.
∴D点的横坐标为 6
将x＝6代入 ,得y＝－3,
∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四
边形,此时 D点的坐标为(－2,－3),
当OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A点,此时 D点的坐标为(2,1)
1
例1题图
图1
O
A
B
y
x
O
A
B
y
x
图2
C
O
A
B
D
y
x
图1
y
x
E
Q
C
B
O
⑶如图 2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设OP 交抛物线的对称轴于 A′点,显然 A′(2,－1)
∴直线 OP 的解析式为
由,
得
.∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP 中,BE＝2,PE＝3,
∴PB＝ ≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO 与△BAO 不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P点.
所以在该抛物线上不存在点 P,使得△BOP 与△AOB 相似.
例2、已知抛物线 经过 及原点 ．
（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为 ）
（2）过 点作平行于 轴的直线 交 轴于 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线
下方的抛物线上，任取一点 ，过点 作直线 平行于 轴交 轴于 点，交直线
于 点，直线 与直线 及两坐标轴围成矩形 ．是否存在点 ，使得
与 相似？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的 点在 轴的上方，连结 ，矩形 内的四个三角形
之间存在怎样的关系？为什么？
【答案】解：（1）由已知可得：
2
E
A'
O
A
B
P
y
x
图2
解之得， ．
因而得，抛物线的解析式为： ．
（2）存在．
设 点的坐标为 ，则 ，
要使 ，则有 ，即
解之得， ．
当 时， ，即为 点，所以得
要使 ，则有 ，即
解之得， ，当 时，即为 点，
当 时， ，所以得 ．
故存在两个 点使得 与 相似．
点的坐标为 ．
（3）在 中，因为 ．所以 ．
当 点的坐标为 时， ．
3
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