《中考数学第二轮重难题型突破》类型二 与切线有关的证明与计算

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类型二 与切线有关的证明与计算
例1、如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D在BC 上，BD＝DC，过点 D作DE AC⊥，
垂足为 E，⊙O经过 A，B，D三点．
(1)求证：AB 是⊙O的直径；
(2)判断 DE 与⊙O的位置关系，并加以证明；
(3)若⊙O的半径为 3，∠BAC＝60°，求 DE 的长．
【分析】：(1)连接 AD，证 AD BC⊥可得；(2)连接 OD，利用中位线定理得到 OD 与
AC 平行，可证∠ODE 为直角，由 OD 为半径，可证 DE 与圆 O相切；(3)连接 BF，先证三
角形 ABC 为等边三角形，再求出 BF 的长，由 DE 为三角形 CBF 中位线，即可求出 DE 的
长．
【答案】：(1)连接 AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD BC⊥，∴∠ADB＝90°，∴AB
为圆 O的直径
(2)DE 与圆 O相切，证明：连接 OD，∵O，D分别为 AB，BC 的中点，∴OD 为
△ABC 的中位线，∴OD AC∥，∵DE AC⊥，∴DE OD⊥，∵OD 为圆的半径，∴DE 与圆 O
相切
(3) AB∵＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接
BF，∵AB 为圆 O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE BF∥，∵D为BC
的中点，∴E为CF 的中点，即 DE 为△BCF 中位线，在 Rt ABF△中，AB＝6，AF＝3，根
据勾股定理得 BF＝＝3，则 DE＝BF＝
例2、如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O的直径，BD 与AC 相交于点 H，AC 的延
长线与过点 B的直线相交于点 E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE 是⊙O的切线；
(2)已知 CG EB∥，且 CG 与BD，BA 分别相交于点 F，G，若 BG·BA＝48，FG＝，DF
＝2BF，求 AH 的值．
【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC CBG∽△ 得＝，可求出 BC，再由
△BFC BCD∽△ 得BC2＝BF·BD，可求出 BF，再求出 CF，CG，GB，通过计算发现 CG＝
AG，可证 CH＝CB，即可求出 AC.
1
【 答 案 】 ： (1) 连 接 CD ， ∵ BD 是 直 径 ， ∴ ∠ BCD ＝90° ， 即 ∠ D＋ ∠ CBD ＝
90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE BD⊥，∴BE 是⊙O切
线
(2) CG EB∵ ∥ ，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝
∠ABC，∴△ABC CBG∽△ ，∴＝，即 BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝
4，∵CG EB∥，∴CF BD⊥，∴△BFC BCD∽△ ，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，
在Rt BCF△中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在 Rt BFG△中，BG＝＝3，∵BG·BA＝
48，∴BA＝8，∴AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝
90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵△ABC CBG∽△ ，∴＝，∴AC＝＝，∴AH＝
AC－CH＝
例3、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，对角线 AC 为⊙O的直径，过点 C作AC 的垂
线交 AD 的延长线于点 E，点 F为CE 的中点，连接 DB，DC，DF.
(1)求∠CDE 的度数；
(2)求证：DF 是⊙O的切线；
(3)若AC＝2DE，求 tan ABD∠的值．
【答案】：(1)∵对角线 AC 为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°
(2)连接 DO，∵∠EDC＝90°，F是EC 的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD
＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋
∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF 是⊙O的切线
(3) E∵∠ ＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝
∠CDE＝90°，∴△CDE ADC∽△ ，∴＝，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则 AC＝2x，AC2－
AD2＝DC2＝AD·DE，即(2x)2－AD2＝AD·x，整理得 AD2＋AD·x－20x2＝0，解得 AD＝4x
或AD＝－5x(舍去)，则 DC＝＝2x，故 tan ABD∠＝tan ACD∠＝＝＝2
例4、如图，在矩形 ABCD 中，点 O在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O与
AD，AC 分别交于点 E，F，且∠ACB＝∠DCE.
(1)判断直线 CE 与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan ACB∠＝，BC＝2，求⊙O的半径．
2
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