《中考数学第二轮重难题型突破》类型二 图形规律（解析版）

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类型二 图形规律
例1.将一些相同的“ ”按如图所示摆放，观察每个图形中的“ ”的个数，若第 n个图形中“ ”
的个数是 78，则 n的值是(　　)
第1题图
A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14
【答案】B　
【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第 n个图形中，小圆的个数为，由此可得方程
＝78，解得 n＝12，故选 B.
例2. 如图，在第 1个△A1BC 中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边 A1B上任取一点 D，延长
CA1到A2，使 A1A2＝A1D，得到第 2个△A1A2D；在边 A2D上任取一点 E，延长 A1A2到
A3，使 A2A3＝A2E，得到第 3个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第 n个三角形中以 An
为顶点的内角度数是(　　)
第2题图
A. ()n·75° B. ()n－1·65°
C. ()n－1·75° D. ()n·85°
【答案】C　
【解析】在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C
是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝()2×75°，∠FA4A3
＝()3×75°，∴第 n个三角形中以 An为顶点的内角度数是()n－1×7
例3. 下列图形都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有 4颗 ，第
②个图形中一共有 11 颗 ，第③个图形中一共有 21 颗 ，…，按此规律排列下去，第⑨个
图形中 的颗数为(　　)
1
第3题图
116 B. 144 C. 145 D. 150
【答案】 B　
【解析】将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方，第 n个组合图形可看作是由下半部分
为n行n列方阵和上半部分的梯形成，第 n个图中方阵中的为(n＋1)2，梯形中为·(n－1)
＝，∴第 n个图中的的个数为(n＋1)2＋＝＋，令 n＝9，解得第 9个中个数为 144 个．
例4.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1个单位长度的半圆 O1，O2，O3，…，组
成一条平滑的曲线．点 P从原点 O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
则第 2017 秒时，点 P的坐标是(　　)
第4题图
A. (2014，0) B. (2015，－1)
C. (2017，1) D. (2016，0)
【答案】C　
【解析】由图象可知，半圆的周长为 π，∴运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为
(2，0)，三秒后的坐标为(3，－1)，四秒后的坐标为(4，0)，…，其中纵坐标以 1，0，－
1，0循环变化，∵2017÷4＝504……1，∴第 2017 秒时，点 P的坐标为(2017，1)．
例5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆成下列图形．第 1幅图
形中“ ”的个数为 a1，第 2幅图形中“ ”的个数为 a2，第 3幅图形中“ ”的个数为 a3，…，以此
类推，则＋＋＋…＋的值为(　　)
第5题图
2
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由所给图形可知，a1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a2＝8＝32－1＝(2＋1)2－1，a3＝15
＝42－1＝(3＋1)2－1，a4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此猜想 an＝(n＋1)2－1＝n(n＋2)，∴
＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ ×(1＋－－)＝.
例6.如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图①位置，继续绕右
下角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转 2017 次．若 AB
＝4，AD＝3，则顶点 A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　　)
第6题图
A. 2017π B. 2034π
C. 3024π D. 3026π
【答案】D　
【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴AC＝BD＝5，转动一次 A的路线长是＝2π，转动第二次 A
的路线长是＝π，转动第三次 A的路线长是＝π，转动第四次 A的路线长是 0，以此类推，
每四次一个循环，且顶点 A转动一个循环的路线长为：π＋π＋2π＝6π，∵2017÷4 ＝
504……1，∴顶点 A转动 2017 次经过的路线长为：6π×504＋2π＝3026π.
例7. 如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点 O逆时针旋转，每秒旋
转45°，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D的坐标为(　　)
第7题图
A.(1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，)
【答案】B　
【解析】∵菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，点 B的坐标是(2，2)，∴BO 与x轴的夹角为
45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点 D 是线段 OB 的中点，∴点 D 的坐标是(1，1)
，∵菱形绕点 O逆时针旋转，每秒旋转 45°，360°÷45°＝8，∴每旋转 8秒，菱形的对角线
3
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