《中考数学第二轮重难题型突破》类型二 平移旋转折叠问题

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类型二 平移旋转折叠问题
例1、如图,将三角形纸片 ABC 沿DE 折叠,使点 A落在 BC 边上的点 F处,
且DE BC,∥下 列 结 论 : BDF①△ 是 等 腰 三 角 形 ; DE=②BC;③ 四 边 形
ADFE
是菱形; BDF+ FEC=2 A.④∠ ∠ ∠ 其中一定正确的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】如图,分别过点 D，E作BC 的垂线 DG，EH；连接 AF,由于折叠是轴对称变换知
AF 与DE 垂直,因为 DE BC∥，所以 AF 与BC 垂直,且AM=MF,可以证明点 D，E分别是
AB,AC 的中点,即DE 是△ABC 的中位线,所以② DE= BC 是正确的；由于折叠是轴对称
变 换 知 AD=DF,AE=EF, 所 以 DA=DB=DF, 所 以 ① △ BDF 是 等 腰 三 角 形 是 正 确 的 ； 因
DG AF EH,∥ ∥ 所 以 ∠ BDG= DAM,∠ 又 因 为 DG 是等腰三角形 BDF 的 高 ,所 以
∠BDF=2 DAM,∠ 同 理 ∠CEF = 2 EAM, ∠ 所以 ④∠BDF+ FEC=2 A∠ ∠ 是正确的；如图显
然四边形 ADFE 不是菱形,③ 是错误的．
【答案】C
例2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).
【解析】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形是
轴对称图形； 把一个平面图形绕某一点旋转 180°,如果旋转后的图形能和原图形互相重合,
那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知 A是轴对称图形,且有 1条对称轴,但不是中
心对称图形；B是中心对称图形,不是轴对称图形；C是轴对称图形,有1条对称轴,但不是中
心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形,有4条对称轴．
【答案】B
例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B的坐标为（2，0），
点A在第一象限内，将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′A′B′的位置，
此时点 A′的横坐标为 3，则点 B′的坐标为 .
1
【解析】作AM x⊥轴于点 M.根据等边三角形的性质得 OA=OB=2，∠AOB=60°，
在Rt OAM△ 中,利用含 30°角的直角三角形的性质求出 OM=1，AM= ，从而求得
点A的坐标为（1， ），直线 OA 的解析式为 y= x,当x=3 时，y=3 ,所以
点A′的坐标为（3，3），所以点 A′是由点 A向右平移 2个单位，向上平移
23 个单位后得到的，于是得点 B′的坐标为（4,2 ）.
【答案】（4,23）
例4、在 Rt ABC△ 中, BAC=90°, B=30°,∠ ∠ 线段 AD 是BC 边上的中线,如图 1,将△ADC 沿
直线 BC 平移,使点 D与点 C重合,得到△FCE,如图 2,再将△FCE 绕点 C顺时针旋转,设旋转
角为 α(0°＜α≤90°),连接 AF,DE．
(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角 α的度数；
(2)探究旋转过程中四边形 ADEF 能形成哪些特殊四边形？请说明理由．
【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点 E和点 D在直线 AC 两侧；②点
E和点 D在直线 AC 同侧；(2)在旋转过程中,总是存在 AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,
将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．
【答案】：(1)在图 1中, BAC=90°, B=30°,∵∠ ∠
∴∠ACE= BAC+ B=120°∠ ∠ ．
如图 2,当点 E和点 D在直线 AC 两侧时,由于∠ACE=150°,
∴α=150°-120°=30°.当点 E和点 D在直线 AC 同侧时,
由于∠ACB=180°- BAC- B=60°, DCE= ACE- ACB=150°-60°=90°.∠ ∠ ∴∠ ∠ ∠
∴α=180°- DCE=90°.∠ ∴旋转角 α为30°或90°;
(2)四边形 ADEF 能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°, B=30°, AC=∠ ∴ BC．
又∵AD 是BC 边上的中线, AD=DC=∴BC=AC. ADC∴△ 为正三角
形．
2
①当 α=60°时,如图 3, ACE=120°+60°=180°.∠
∵CA=CE=CD=CF,
∴四边形 ADEF 为矩形．
②当 α≠60°时, ACF≠120°, DCE=360°-60°-60°- ACF≠120°∠ ∠ ∠ ．
显然 DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,
∴2 FAC+ ACF=2 CDE+ DCE=180°.∠ ∠ ∠ ∠
∵∠ACF+ DCE=360°-60°-60°=240°,∠
∴∠FAC+ CDE=60°. DAF+ ADE=120°+60°=180°. AF DE∠ ∴∠ ∠ ∴ ∥ ．
又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形 ADEF 为等腰梯形．
例5、如图，矩形纸片 ABCD，将△AMP 和△BPQ 分别沿 PM 和PQ 折叠（AP＞AM），
点A和点 B都与点 E重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点 C落在线段
EQ 上的点 F处.
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角
形？
（2）如果 AM=1，sin DMF=∠ ，求 AB 的长.
【解析】（1）由矩形的性质得∠A= B= C=90°∠ ∠ ，由折叠的性质和等角的余角相等，可
得∠BPQ= AMP= DQC∠ ∠ ，所以△AMP BPQ CQD∽△ ∽△ ；（2）先证明 MD=MQ，然后根
据sin DMF=∠DFMD=35，设 DF=3x，MD=5x，再分别表示出 AP，BP，BQ，根
据△AMP BPQ∽△ ，列出比例式解方程求解即可.
解：（1）△AMP BPQ CQD.∽△ ∽△
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A= B= C=90°.∠ ∠
由折叠的性质可知∠APM= EPM∠ ，∠EPQ= BPQ.∠
∴∠APM+ BPQ= EPM+ EPQ=90°.∠ ∠ ∠
∵∠APM+ AMP=90°∠ ，∴∠BPQ= AMP.∠
∴△AMP BPQ.∽△
同理：△BPQ CQD.∽△
根据相似的传递性可得△AMP CQD∽△ ；
（2）∵AD BC∥，∴∠DQC= MDQ.∠
由折叠的性质可知∠DQC= DQM.∠
3
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