《新九年级数学暑假精品课程（浙教版）》第四讲 二次函数的性质（1）《九年级数学讲义上海专用》（原卷版）

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第四讲 二次函数的性质（1）
1.3 二次函数的性质（1）
【学习目标】
1. 通 过 图 象 能熟 练 地 掌 握 二次 函 数 y=ax2，y=ax2+c ，y=a （x-h)2，y=a （x-h)2+k ，
2
y ax bx c  
（a≠0）的性质；
2. 进一步深刻理解数形结合分析函数的图象与性质问题；
3.学会判断一些含参数的二次函数的增减性及最值问题。
【基础知识】
一、二次函数 y=ax2（a≠0）与 y=ax2+c(a≠0)的图象及性质（复习图象，分析性质，数形结合）
1.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数 y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）
值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y 轴 　　x>0 时，y 随
x 增大而增大；
　　x<0 时，y 随
x 增大而减小.
　当 x=0
时，y 最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y 轴 　　x>0 时，y 随
x 增大而减小；
　　x<0 时，y 随
x 增大而增大.
　当 x=0
时，y 最大=0
2.二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数
2
( 0)y ax c a  
的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减
性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数
2
( 0, 0)y ax c a c   
2
( 0, 0)y ax c a c   
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
1
对称轴 y 轴 y 轴
函数变化 当
0x
时，y 随 x 的增大而增大；
当
0x
时，y 随 x 的增大而减小.
当
0x
时，y 随 x 的增大而减小；
当
0x
时，y 随 x 的增大而增大.
最大（小）
值
当
0x
时，
y c
最小值
当
0x
时，
y c
最大值
二、二次函数 与 的图象与性质
1.函数 的图象与性质
2. 函
数
的图象与性质
三、二次函数
的图象与性质
1.二次函数
图象与性质
函数 二次函数
2
y ax bx c  
（a、b、c 为常数，a≠0）
图象
0a
0a
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
2
b
xa
 
直线
2
b
xa
 
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a
向上
 
0h，
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
有最小值
0
．
0a
向下
 
0h，
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
有最大值
0
．
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a
向上
 
h k，
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
有最小值
k
．
0a
向下
 
h k，
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
有最大值
k
．
2
顶点坐标
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
增减性
在对称轴的左侧，即当
2
b
xa
 
时，y 随 x 的
增大而减小；在对称轴的右侧，即当
2
b
xa
 
时，y 随 x 的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当
2
b
xa
 
时，y
随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，
即 当
2
b
xa
 
时 ， y 随 x 的 增 大 而 减
小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物 线 有最 低点 ，当
2
b
xa
 
时， y 有最 小
值，
2
4
4
ac b
ya
最小值
抛物线有最高点，当
2
b
xa
 
时，y 有
最大值，
2
4
4
ac b
ya
最大值
四、求二次函数
的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当
2
b
xa
 
时，
2
4
4
ac b
ya
最值
．
要点：如果自变量的取值范围是 x1≤x≤x2，那么首先要看
2
b
a
是否在自变量的取值范围 x1≤x≤x2内，若
在此范围内，则当
2
b
xa
 
时，
2
4
4
ac b
ya
最值
，若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1≤x≤x2范围内的
增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 x＝x2时，
2
2 2
y ax bx c  
最大值
；当 x＝x1时，
2
1 1
y ax bx c  
最小值
，如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 x＝x1时， ；当
x＝x2时， ，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察 x＝x1，x＝x2，
2
b
xa
 
时 y
值的情况．
【考点剖析】
考点一：二次函数 y=ax2（a≠0）与 y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
例1．1．已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)在函数 y＝x2＋1的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3
例2．已知二次函数 y=(m+2) ，当 x<0 时，y随x的增大而增大，则 m的值为（ ）
A．B．C．D．2
3
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