《新九年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十六讲 垂径定理《九年级数学讲义上海专用》（解析版）

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第十六讲 垂径定理
3.3 垂径定理
【学习目标】
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【基础知识】
一、垂径定理
1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD 是直径
要点：
2.推论
　　定理 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
　　定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在
这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分
的弦不能是直径）
【考点剖析】
例1．如图，在⊙O中，C为弦 AB 上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为 5，则 OC＝（ ）
1
CD⊥AB
AE=BE
A．B．4 C．3 D．
【答案】A
【解析】
过点 O作OD AB⊥于点 D，连接 OA，先根据垂径定理求出 AD 的长，再由勾股定理求出 OD 的长，在
Rt OCD△中根据勾股定理即可得出 OC 的长．
解：过点 O作OD AB⊥于点 D，连接 OA，
∵AC＝2，BC＝6，
∴AB=8，
∴AD= AB=4，
在Rt AOD△中，OA=5，AD=4，
∴OD= =3，
在Rt COD△中，OD=3，CD=AD-AC=4-2=2，
∴OC= ，
故选：A．
．
【点睛】
此题考查圆的垂径定理，勾股定理，根据题意引出辅助线，利用垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关
键．
例2．如图，两个以 O为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D两点．OH AB⊥于H，则图
中相等的线段共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】D
【解析】
2
先根据 OH AB⊥于点 H可知，AH＝BH，CH＝DH，故可得出 AC＝BD，AD＝BC，进而可得出结论．
解：由垂径定理知，点 H是AB 的中点，也是 CD 的中点，则有 CH＝HD，AH＝HB，所以 AD＝BC，AC
＝BD．
所以共有 4组相等的线段．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
例3．下列说法错误的是( )
A．垂直于弦的直径平分弦
B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧
C．平分弦的直径平分弦所对的弧
D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
【答案】C
【详解】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故选项 A、B正确；C中，当被平分
的弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧；D中，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦正确.
故选 C.
例4．如下图，在 Rt ABC△中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点 C为圆心，CA 为半径的圆与 AB
交于点 D，则 AD 的长为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图，过 C作CM AB⊥，交 AB 于点 M，
由垂径定理可得 M为AD 的中点，
3
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