《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第9讲 一元二次方程（原卷版）

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第9讲 一元二次方程
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【基础知识】
考点一、一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二
次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
考点诠释：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其
次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次
数为 2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．
考点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程

降次
一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
考点诠释：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
1
　 法，再考虑用公式法．
考点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程
)0(0
2acbxax
中，
acb 4
2
叫做一元二次方程
)0(0
2acbxax
的根
的判别式，通常用“
”来表示，即
acb 4
2
（1）当△>0 时，一元二次方程有 2个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有 2个相等的实数根；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
)0(0
2acbxax
的两个实数根是
，
那么
a
b
xx 21
，
a
c
xx
21
.
注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.
考点诠释：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
考点四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
　　一是整体地、系统地审题；
　　二是把握问题中的等量关系；
　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
考点诠释：
　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际
问题的解决.
【考点剖析】
考点一：一元二次方程的有关概念
例1．关于 x的一元二次方程（a 1﹣ ）x2+x+a21=0﹣ 的一个根是 0，则 a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
举一反三：
【变式】关于 x的方程
2 2
( 2 8) ( 2) 1 0a a x a x  
,
当
a
时为一元一次方程；当
a
时为一元二次方程.
考点二：一元二次方程的解法
例2．用适当的方法解一元二次方程
(1) 0.5x2- =0；　　 　 (2) (x+a)2=；
　　(3) 2x2-4x-1=0；　　　 (4) (1-)x2=(1+ )x．
3
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