《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第7讲 二次根式的乘除法（解析版）

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第7讲 二次根式的乘除法
【学习目标】
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.
【基础知识】
考点一、二次根式的乘法
1.乘法法则：
（
a
≥0，
b
≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
考点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a、b 都必须是非负数；(在本章中，
如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0， ≥0，….. ≥0）.
(3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如 .
考点二、二次根式的除法
1.除法法则：
( )
a a a b a b
b
b   或
（
a
≥0，
b
>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相
除.
考点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，
a
≥0，
b
>0，因
为 b 在分母上，故 b 不能为 0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中
分母不能带根号.
考点三、分母有理化
1.分母有理化
把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.
1
2.有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式 .
有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用
a a a 
来确定，如：
a a与
，
a b a b 与
，
与
ba
等
分别互为有理化因式.
② 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 . 如
a b
与
a b
，
a b a b 与
，
a x b y a x b y 与
分别互为有理化因式.
考点诠释：
分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有
理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【考点剖析】
考点一：二次根式的乘除运算
例1．(1) × ； 　(2) × ； (3) ； (4) ；
【答案】(1) × = ；
(2) × = = ；
(3) = = =2；
(4) = = ×2=2 .
【总结】直接利用 计算即可．
举一反三：
【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：
2
(1) ；
(2) × =4× × =4 × =4 =8 .
【答案】(1)不正确．
改正： = ＝ × =2×3=6；
(2)不正确．
改正： × = × = = = ＝4 .
例 2. 计算： ．
【思路】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
【答案】
解：
=3×（﹣ ）×2
=﹣ ×5
=﹣ ．
【总结】本题考查了二次根式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．
例 3.已知 0＜
a
＜
b
,化简
2 2
3 2 2 3
2a b b ab a
a b a b a b
 
 
.
【答案】原式=
2
2 2
( )
( )
a b b a
a b a b a b
 
 
=
1 ( )
( )( )
a b b a a b
a b ab a b a b
 
 
=
1a b
ab
 
【总结】
2
a a
成立的条件是
a
＞0；若
a
＜0,则
2
a a 
.
考点二：分母有理化
3
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