《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第6讲 二次根式（解析版）

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第6讲 二次根式
【学习目标】
1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： ≥0，（ ≥0）， （ ≥0）， （ ≥0），并利用
它们进行计算和化简．
【基础知识】
考点一、二次根式的概念
一般地，我们把形如 (a≥0)K的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
考点诠释：
　　二次根式的两个要素：①根指数为 2；②被开方数为非负数.
考点二、二次根式的性质
1. ≥0，（ ≥0）；
2. （ ≥0）；
3. .
4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （ ≥0， ≥0）.
5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，
即 （ ≥0， >0）.
考点诠释：
（1）二次根式 (a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即 .
1
（2） 与 要注意区别与联系：
① 的取值范围不同， 中 ≥0， 中 为任意值。
② ≥0 时， = = ； <0 时， 无意义， = .
考点三、最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
考点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开放数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【考点剖析】
考点一：二次根式的概念
例1．当 为实数时，下列各式 ， ， ， 属二
次根式的有____ 个.
【答案】 3.
【解析】 这三个式子满足无论 取何值，被开方数都大于或等于零.
【总结】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0．
举一反三：
【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） （ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
【答案】B.
例 2.
x
取何值时，下列函数在实数范围内有意义？
2
（1） ； （2）y= － ；
【答案】 （1） ≥0，所以 x≥1.
（2） ≥0, ≥0,所以 ≤x≤ ；
【总结】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.
举一反三：
【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B.
考点二：二次根式的性质
例2． 计算下列各式：
(1) (2)
【答案】(1) .
(2) .
【总结】 二次根式性质的运用.
举一反三：
【变式】（1） =_____________.
（2） =_____________.
【答案】(1) 10； (2) 0.
例 4. 已知：实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简： ﹣|a﹣b|．
3
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