《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第5讲 矩形、菱形与正方形（解析版）

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第5讲 矩形、菱形与正方形
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关
的证明和计算.
【基础知识】
考点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
高底
平行四边形 S
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
考点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
考点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
1
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
2
对角线对角线
高＝＝底
菱形
S
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
考点三、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
宽＝长
矩形 S
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
考点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半．
考点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积： 边长×边长＝ ×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
2
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【考点剖析】
考点一：平行四边形
例1．、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点 D为边 AB 的中点，DE∥BC 交AC 于点
E，CF∥AB 交DE 的延长线于点 F．
（1）求证：DE=EF；
（2）连结 CD，过点 D作DC 的垂线交 CF 的延长线于点 G，求证：∠B=∠A+∠DGC．
【思路】（1）首先证明四边形 DBCF 为平行四边形，可得 DF=BC，再证明 DE= BC，进而得到 EF=
CB，即可证出 DE=EF；
（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然
后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1 可得∠A+∠G=∠B．
【答案】
证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形 DBCF 为平行四边形，
∴DF=BC，
∵D 为边 AB 的中点，DE∥BC，
∴DE= BC，∴EF=DF-DE=BC- CB= CB，
3
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