《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第4讲 平行四边形的性质及判定（解析版）

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第4讲 平行四边形的性质与判定
【学习目标】
了解平行四边形的性质与判定
利用平行四边的性质与判定证明
【基础知识】
考点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形 ABCD 记作“
口
ABCD”，读作
“平行四边形 ABCD”.
考点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
考点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
考点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明
两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关
系来解决.
考点三、平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
考点诠释：
（1） 这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
考点四、平行线间的距离
1
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离 .注：
距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【考点剖析】
考点一：平行四边形的性质与判定
例1．如图，在
口
ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 BE，DF∥BE 交 BC 于点 F，AF 与 BE 交与点 M，CE 与
DF 交于点 N．
求证：四边形 MFNE 是平行四边形．
　　　
【答案】
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形.
　　　∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）
　　　又∵DF∥BE（已知）
　　　∴四边形 BEDF 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
　　　∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）
　　　∴AD－DE＝BC－BF，即 AE＝CF
　　　又∵AE∥CF
　　∴四边形 AFCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
2
　　∴AF∥CE
　　∴四边形 MFNE 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
【总结】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一
边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.
举一反三：
【变式】如图，等腰△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，DE∥AC，DFÌ∥AB，Ì通过观察分析线段 DE，DF，AB 三
者之间有什么关系，试说明你的结论．
　　　　
【答案】AB＝DE＋DF，
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
　　　∴四边形 AEDF 是平行四边形，∠C＝∠EDB
　　∴DF＝AE．
∵等腰△ABC，
　　∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，
　　∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE
2、完成下列各题：
（1）如图 1，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，求四边形 ABCD 的周长．
（2）已知：如图 2，在△ABC 中，D 为边 BC 上的一点，AD 平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．
求证：AB＝AC．
【思路】
（1）首先判定四边形 ABCD 是平行四边形，再根据平行四边形的性质和周长公式计算即可；
（2）由已知条件证明△ADE≌△ADC 可得到∠E＝∠C，又∠E＝∠B，所以∠B＝∠C，进而证明 AB＝AC．
3
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