《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第3讲 反比例函数及图象性质（解析版）

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第3讲 反比例函数及图象性质
【学习目标】
1 ． 使 学 生 理 解 并 掌 握 反 比 例 函 数 的 概 念 ， 能 根 据 实 际 问 题 中 的 条 件 确 定 反 比 例 函 数 的 解 析 式
，能判断一个给定函数是否为反比例函数；
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 的性质，能利用这些性质分析和解决一些
简单的实际问题.
【基础知识】
考点一、反比例函数的概念
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于 0 的一切实数.
考点诠释：在 中，自变量 的取值范围是 ， ( )可以写成 ( )的
形式，也可以写成 的形式.
考点二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此
只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
考点三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二 、
四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 轴、 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近
1
坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
考点诠释：
观察反比例函数 的图象可得： 和 的值都不能为 0，并且图
象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
① 的图象是轴对称图形，对称轴为 两条直线；
② 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③ (k≠0)在同一坐标系中的图象关于 轴对称，也关于 轴对称.
注：正比例函数 与反比例函数 ，
当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原
点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
　　当 时， 同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小；当 时，
异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增大.
（2）若点( )在反比例函数 的图象上，则点（ ）也在此图象上，故反比例函数的图象
2
关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
　 正比例函数 反比例函数
解析式
图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
， 随 的增大而增大
， 随 的增大而减小
，在每个象限， 随 的增大而减小
，在每个象限， 随 的增大而增大
（4）反比例函数 y＝ 中 的意义
①过双曲线 ( ≠0) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
②过双曲线 ( ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
考点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题
转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
【考点剖析】
3
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