《新九年级数学暑假精品课程（华师大版）》第1讲 分式及分式方程（解析版）

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第1讲 分式及分式方程
【学习目标】
1. 理解分式的意义，明确分式与整式的区别
2. 掌握分式的计算
3. 解分式方程
4. 运用分式方程解决问题
【基础知识】
考点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式.其中 A 叫做分子，B 叫
做分母.
考点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B≠0 时，分
式
A
B
才有意义.
2.分式的基本性质
　　 （M 为不等于 0 的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
考点二、分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫
做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母
的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
1
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a b a b
c c c
 
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算
a c ac
b d bd
 
，其中
a b c d、 、 、
是整式，
0bd
.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算
a c a d ad
b d b c bc
 
，其中
a b c d、 、 、
是整式，
.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
考点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数
允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合
原方程的根－－－增根.
考点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入
到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解.
考点四、分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、
2
恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方
程，并进行求解.
【考点剖析】
考点一：分式及其基本性质
例1．在
m
a
yx
xy
x
xx
x
1
,
3
,
3
,
)1(
,
2
1
,
12
中，分式的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C；
【解析】
 
2
1
1 3 1
x x a
x x x y m
， ， ，
是分式.
【总结】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式
例 2、当
x
为何值时，分式
29
3
x
x
的值为 0？
【思路】先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于 0，当它使分母的值不等于 0
时，这个值就是要求的字母的值．
【答案】
解： 要使分式的值为 0，必须满足分子等于 0 且分母不等于 0．
由题意，得
2
9 0,
3 0.
x
x
 
 
解得
3x
．
∴ 当
3x
时，分式
29
3
x
x
的值为 0．
【总结】分式的值为 0 的条件是：分子为 0，且分母不为 0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式
值的情况.
举一反三：
【变式】（1）若分式 的值等于零，则
x
＝_______；
3
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