《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第五讲 应用一元二次方程（解析版）

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第五讲 应用一元二次方程
【学习目标】
1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际
问题的一- 般步骤;
2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【基础知识】
列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；
⑥作答．
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变
化的次数，b表示变化 n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运
用面积之间的关系列方程.
注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
【考点剖析】
考点一：平均增长率（降低率）问题
例1 ．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校
为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 500 人次，进馆
人次逐月增加，第三个月进馆 720 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 1000 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，
校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】（1）进馆人次的月平均增长率是
20%
；（2）能，理由详见解析
【解析】（1）设进馆人次的月平均增长率是
x
500（1+x）2=720
解得，
10.2x
，
2
2.2x 
（舍去），
答：进馆人次的月平均增长率是
20%
；
(2)能；
理由是：720(1+20%）=864＜1000，
所以能够接纳.
考点二：利润问题
例2．某商场将进价每件 30 元的衬衫以每件 40 元销售，平均每月可售出 600 件．为了增加盈利，商场采取
涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨 1元，商场平均每月会少售出 10 件．为了实现平均每月 10
000 元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？
【答案】这种衬衫每件的价格应定为 50 元或 80 元
1
【解析】解：设这种衬衫每件的价格应定为 x元．
根据题意，得(x－30)[600－(x－40)×10]＝10000．
解得 x1＝50，x2＝80．
答：这种衬衫每件的价格应定为 50 元或 80 元．
考点三：传播、比赛问题
例3．新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播
速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64 人．
（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？
（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？
【答案】（1）7人；（2）512 人
【解析】
（1）设一个人平均感染 x人，
∵经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64 人，
∴，
整理得：x2+2x-63=0，
解得： （舍去）,
∴这种病毒每轮传播中一个人平均感染 7人．
（2） （人），
答：经过三轮传播后一共有512 人被感染．
考点四：面积问题
例4．如图，一幅长
8cm
、宽
的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条
宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的
3
8
．求彩条的宽度．
【答案】水平彩条宽度为
1cm
，竖直彩条的宽度为
．
【解析】
解：设水平彩条宽度为
，则竖直彩条的宽度为
2xcm
，
由题意得：
3
8 6 2 2 8 6
8
x x x x  
，
整理得：
2
10 9 0x x  
，
解得：
1x
，或
9x
（不合题意舍去），
∴
1x
，
2 2x
，
答：水平彩条宽度为
1cm
，则竖直彩条的宽度为
．
2
【真题演练】
1．有 x支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（
）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：由题意得： ；
故选 B．
2．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 张，设参加活动的同学有 人，根据题意，
可列方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：设参加活动的同学有 x人，则每人送出（ ）张贺卡，
依题意得： ．
故选：A．
3．某口罩厂六月份的口罩产量为 100 万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到 81 万只设该厂七
八月份的口罩产量的月平均减少率为 x，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 x，
七月份的产量为： ，
八月份的产量为： ，
∴列式为： ，
故选：B．
4．如图所示的是某公司今年 1—3 月份的收入统计图，设 1月至3月的每月收入平均增长率为 ，根据图
中信息，得到 所满足的方程是（ ）
3
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