《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第四讲 一元二次方程及其解法（解析版）

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第四讲 一元二次方程及其解法
【学习目标】
1．经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2．会用开平方法解形如(x 十m) ＝n(n 0)的方程．
3．理解一元二次方程的解法——配方法．1．一元二次方程的求根公式的推导
4．会用求根公式解一元二次方程
5．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
【基础知识】
（一）、一元二次方程定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。
（二）、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x的二次多项式，等式右边是零，其中
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程。当 时， ， ；当
b<0 时，方程没有实数根。
2、配方法
一般步骤：
方程 两边同时除以 a,将二次项系数化为 1.
将所得方程的常数项移到方程的右边。
所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方
配方，化成
（5）开方。当 时， ；当 b<0 时，方程没有实数根。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程 的求根公式：
4、根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为： ① ，方程有两个不相等的实数根； ②
，方程有两个相等的实数根；③ ，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二
次方程根的个数．
5、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。
【考点剖析】
考点一：一元二次方程相关定义和性质
1
例1 ．（1）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：A、不是一元二次方程，故此选项不符合；
B、是一元二次方程，故此选项符合；
C、不是一元二次方程，故此选项不符合；
D、不是一元二次方程，故此选项不符合；
故选：B．
（2）若关于 x的一元二次方程（a+2）x23﹣ax+a2﹣＝0的常数项为 0，则 a的值为（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
解：由题意可知：a2﹣＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为 2，
故选：C．
（3）关于 的一元二次方程 有一个根为零，则 的值为_________．
【答案】
【详解】
∵关于 的一元二次方程 有一个根为零，
，
，
当 时， ，
，
故答案为： ．
考点二：配方法及其应用
例2．解下列一元二次方程
（1） ； （2） ；
2
【答案】（1）x1=1，x2=-4；（2）x1=，x2=
【详解】
解：（1） ，
∴ ，
∴解得：x1=1，x2=-4；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
解得：x1=，x2=．
例3．（1）已知 ，求 的值；
（2）求证：不论 x，y为何实数， 的值总是正数；
【答案】（1）8；（2）见解析
【详解】
解：（1）∵13x2-6xy+y2-4x+1=0，
∴（3x-y）2+（2x-1）2=0，
解得，x= ，y= ，
∴= = ．
（2）
=
= ≥3，
即不论 x、y为何实数， 的值总是正数．
考点三：公式法
例4．公式法解方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ，
3
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