《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第十讲 相似三角形的性质（解析版）

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第十讲 相似三角形的性质及应用
【学习目标】
1、理解并熟练应用相似三角形的性质:周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方; (重点)
2.会利用相似三角形的性质来解决简单的问题。)
3.使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质.
【基础知识】
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
【考点剖析】
考点一：相似三角形的性质
例1．（1）如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝58°，求 AB、OC
的长和∠D的度数．
【答案】AB＝ ，OC＝ ，∠D＝58°．
【解析】
解：∵OA＝2，AD＝9，
∴OD＝9 2﹣＝7，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴ ＝ ＝ ，
∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，
∴ ＝ ＝ ，
解得 OC＝ ，AB＝ ，
1
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D＝∠A＝58°．
（2）如图，已知 AD＝4cm，BC：AC＝3：2，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC，求 AB 的长和
∠BAD 的度数．
【答案】AB＝6cm；∠BAD＝153°
【详解】
解：∵△ABC∽△DAC，
∴ ，
∵BC：AC＝3：2；AD＝4cm，
∴ ，
∴AB＝6cm；
∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝36°+117°＝153°．
考点二：相似三角形性质与判定的综合应用
例2．如图，在四边形 中，∠ ＝90°， ∥ ，对角线 ⊥ ．
（1）求证：△ ∽△ ．
（2）若 ＝2， ＝3，求△ 与△ 的面积比．
2
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）∵ ⊥ ， ∠ B ＝90°，
∴ ，即： ，
又∵ ∥ ，
∴ ，
∴△ ∽△ ；
（2）∵△ ∽△ ，
∴相似比为 ，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ ．
例3．如图， 中， 平分 ， 是 上一点， ．
（1）求证： ．
（2）已知 ， ，试求 的长．
3
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