《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第三讲 正方形的性质与判定（解析版）

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第二讲 正方形的性质与判定
【学习目标】
1.在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探素正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结
论，
2.进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互
转化的能力.
3.掌控正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
【基础知识】
1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行
（2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所
在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证它是菱形。
先证它是菱形，再证它是矩形。
4、正方形的面积
设正方形边长为 a，对角线长为 b，S正方形=
【考点剖析】
考点一：应用正方形的性质进行计算、求解
例1 ．如图，AC 为正方形 ABCD 的对角线，E为AC 上一点，且 AE=AB，过 E作EF⊥AC，交 BC 于点 F．
求证：BF=EF．
【答案】证明见解析．
利用“HL”证明△AFE≌△AFB 即可解决问题．
【详解】
解：如图连接 AF．
1
∵四边形 ABCD 是正方形，且 FE⊥AC，
∴∠AEF=∠B=90°，
在Rt△AFE 和Rt△AFB 中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AFB(HL)，
∴BF=EF．
例2．如图，在一正方形 中，E为对角线 上一点，连接 、 ．
（1）求证： ．
（2）延长 交 于点 F，若 ．求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【详解】
解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，
在△BEC 和△DEC 中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；
（2）∵FD=FE，
∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x，
∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x，
∵△BEC≌△DEC，
2
∴∠BEC=∠DEC=135°-2x，
∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即 135°-2x+x+135°-2x=180°，
解得：x=30，
∴∠AFE=60°．
考点二：正方形的判定
例3．四边形 是平行四边形，对角线 ， 交于点 ．
（1）如图是 的一部分，请用尺规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图，在射线 上作一点 ，使得 60°若 是等边三角形，求证： 是菱形；
（3）在（2）的条件下，若 ，求证：菱形 是正方形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）证明：∵在 中，
∴AO=CO，
∵ 是等边三角形，
3
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