《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第六讲 用树状图或表格求概率（原卷版）

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第六讲 用树状图或表格求概率
【学习目标】
1、进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率.
2、会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.
【基础知识】
1.古典概型
（1）古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个； ②在一次试验中，各种结果发生的可能
性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A包含其中的 m中
结果，那么事件 A发生的概率为 P（A）=
2.列表法求概率
（1）列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常
采用列表法。
3.树状图法求概率
（1）树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树状图法求概率。
【考点剖析】
考点一：利用概率公式进行计算
例1．一个 的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直
线上的概率为__________；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一
1
条直线上的概率．
考点二：列表法或树状图法求概率
例2．某校准备从八年级（1）班、（2）班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知（1）班有 5
名团员（其中男生 3人，女生 2人），（2）班有 4名团员（其中男生 1人，女生 3人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为___
___；
（2）如果分别从（1）班、（2）班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学
恰好是一名男生、一名女生的概率．
考点三：游戏公平性问题
例3．相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，
一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两
组卡片，第一组为正面分别写有字母 X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母 X、Y、Y、Z的四
张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为
抽卡片一次．
（1）若小贾从第二组中抽卡片 15 次，其中 9次抽出的卡片上写有字母 Y，求这 15 次抽出的卡片上写有字
母Y的频率；
（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小
亮去参加；否则，小贾去参加．请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理
由．
考点四：几何概率问题
例4．如图，在 3×3 的正方形方格中，阴影部分是涂黑 5个小正方形所形成的图案．
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的
方法求新图案是中心对称图形的概率．
考点五：统计与概率综合问题
例5．某校九（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，将“垃圾分类”的知晓情
况分为 ， ， ， 四类，其中， 类表示“非常了解”，类表示“比较了解”，类表示“基本
了解”，类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统
计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
2
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中类别 所对应扇形的圆心角度数．
（2）类别 的 4名学生中有 3名男生和 1名女生，现从这 4名学生中随机选取 2名学生参加学校“垃圾分
类”知识竞赛，求所选取的 2名学生中恰好有 1名男生、1名女生的概率．
【真题演练】
1．下列表述中，正确的是（ ）
A．“任意一个五边形的外角和是 540°”是必然事件
B．抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数正好为 50 次
C．抛掷两枚质地均匀的银币，正好一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率为
D．“367 人中至少有两人的生日相同”是随机事件
2．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松
鼠要先经过第一道门（A， ，或 C），再经过第二道门（ 或 ）才能出去．问松鼠走出笼子的路线
（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
4．一个盒子里装有除颜色外都相同的 3个球，其中 2个红球，1个白球．现从盒子里随意摸出1个不放回，
3
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