《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第六讲 用树状图或表格求概率（解析版）

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第六讲 用树状图或表格求概率
【学习目标】
1、进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率.
2、会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.
【基础知识】
1.古典概型
（1）古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个； ②在一次试验中，各种结果发生的可能
性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A包含其中的 m中
结果，那么事件 A发生的概率为 P（A）=
2.列表法求概率
（1）列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常
采用列表法。
3.树状图法求概率
（1）树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树状图法求概率。
【考点剖析】
考点一：利用概率公式进行计算
例1．一个 的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直
线上的概率为__________；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一
1
条直线上的概率．
【答案】（1） ；（2）
【详解】
解：（1）棋盘内已有两枚棋子，剩余的方格数为 9-2=7 个，则在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚
棋子恰好能在一条直线上的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图，棋盘中剩余的方格分别记为 1，2，3，4，5，
在这五个方格中随机放入 2枚棋子，所有可能出现的结果有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有 10 种，他们出现
的可能性相同，
所有的结果中，满足“仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上”（记为事件 ）的结果有 4种，
即 ， ， ， ，
所以 ．
考点二：列表法或树状图法求概率
例2．某校准备从八年级（1）班、（2）班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知（1）班有 5
名团员（其中男生 3人，女生 2人），（2）班有 4名团员（其中男生 1人，女生 3人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为___
___；
（2）如果分别从（1）班、（2）班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学
恰好是一名男生、一名女生的概率．
【答案】（1） ；（2）
【详解】
解：（1）这两个班的全体团员共有 9名，其中男生有 4名，
∴随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为： ；
（2）列表如下：
2
男男男女女
男 男，男 男，男 男，男 男，女 男，女
女 女，男 女，男 女，男 女，女 女，女
女 女，男 女，男 女，男 女，女 女，女
女 女，男 女，男 女，男 女，女 女，女
由表格可知共有 20 种情况，其中一男一女的共有 11 种，
∴这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为 ．
考点三：游戏公平性问题
例3．相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，
一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两
组卡片，第一组为正面分别写有字母 X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母 X、Y、Y、Z的四
张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为
抽卡片一次．
（1）若小贾从第二组中抽卡片 15 次，其中 9次抽出的卡片上写有字母 Y，求这 15 次抽出的卡片上写有字
母Y的频率；
（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小
亮去参加；否则，小贾去参加．请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理
由．
【答案】（1） ；（2）不公平，理由见解析
【详解】
解：（1）这 15 次抽出的卡片上写有字母 Y的频率为： ；
（2）根据题意，画出树状图如下：
，
P（字母相同） ，P（字母不相同） ，
∵P（字母相同）≠P（字母不相同），
∴不公平．
考点四：几何概率问题
3
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