《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第二讲 矩形的性质与判定（原卷版）

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第二讲 矩形的性质与判定
【学习目标】
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
3.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
4.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;
【基础知识】
1、矩形的性质
矩形的性质由平行四边形的性质+矩形的特性组成。因此，要学习矩形的性质，在平行四边形性质各性质
基础上，我们更应该熟练掌握的是矩形的特性
1）.内角为 90°
2）.对角线相等
3）.以矩形对角线性质为基础，我们推导出另一条重要推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2、矩形的判定方法分为两种途径：
1）.在四边形基础上证明三个角等于 ，即三个角等于 的四边形是矩形；
在平行四边形基础上+矩形特性：
2）.对角线相等的平行四边形是矩形；
3）.有一个角是 的平行四边形是矩形；
【考点剖析】
考点一：应用矩形的性质进行计算、求解
如图，已知矩形 中，E是 上一点，F是 上的一点， ，且 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，矩形 的周长为 ，求 的长．
考点二：矩形的判定
1
例2．已如，如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边的中线，过点 A作BC 的平行线，过点 B作AD 的
平行线，两线交于点 E，连接 DE 交AB 于点 O．
（1）求证：四边形 ADBE 是矩形；
（2）若 BC=8，AO=，求四边形 AEBC 的面积．
考点三：矩形折叠问题
例3．如图，将矩形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
考点四：与矩形有关的面积问题
[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别
平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图 1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用
“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中
国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
（1）请根据如图 1完成这个推论的证明过程，
证明：S矩形 NFGD＝ ，
S矩形 EBMF＝ ﹣（　
　 +　
　 ）．
2
易知， ，　
　 ＝　
　 ，　
　 ＝　
　 ．
可得 S矩形 NFGD＝S矩形 EBMF
（2）如图 2，点 P是矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点，过点 P作EF∥BC 分别交 AB，CD 于点 E、F，连
接PA，PC．若 PE＝5，DF＝4，求图中阴影部分的面积．
考点五：直角三角形斜边上中线
如图，在四边形 中， ， ， 是 中点，过点 作 交 于点
，连接 ．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：
①_________；
②_________．
【真题演练】
1．直角三角形的斜边长为 10，则斜边上的中线长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，矩形 绕点 逆时针旋转 得到矩形 ，此时点 恰好在 边上，
若 ，则 的大小为（ ）
3
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