《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第二讲 矩形的性质与判定（解析版）

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第二讲 矩形的性质与判定
【学习目标】
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
3.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
4.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;
【基础知识】
1、矩形的性质
矩形的性质由平行四边形的性质+矩形的特性组成。因此，要学习矩形的性质，在平行四边形性质各性质
基础上，我们更应该熟练掌握的是矩形的特性
1）.内角为 90°
2）.对角线相等
3）.以矩形对角线性质为基础，我们推导出另一条重要推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2、矩形的判定方法分为两种途径：
1）.在四边形基础上证明三个角等于 ，即三个角等于 的四边形是矩形；
在平行四边形基础上+矩形特性：
2）.对角线相等的平行四边形是矩形；
3）.有一个角是 的平行四边形是矩形；
【考点剖析】
考点一：应用矩形的性质进行计算、求解
如图，已知矩形 中，E是 上一点，F是 上的一点， ，且 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，矩形 的周长为 ，求 的长．
1
【答案】（1）见解析；（2）7cm
【详解】
解：（1）证明：∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
在Rt△AEF 和Rt△DEC 中，
∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
（2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE．
∴AE=CD．
∴AD=AE+5．
又∵矩形 ABCD 的周长为 38cm，
∴2（AE+AE+5）=38cm．
∴AE=7cm．
答：AE 的长为 7cm．
考点二：矩形的判定
例2．已如，如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边的中线，过点 A作BC 的平行线，过点 B作AD 的
平行线，两线交于点 E，连接 DE 交AB 于点 O．
（1）求证：四边形 ADBE 是矩形；
（2）若 BC=8，AO=，求四边形 AEBC 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）18
【详解】
（1）∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形 ADBE 是平行四边形．
∵AB=AC，AD 是BC 边的中线，
2
∴AD⊥BC．
即∠ADB=90°．
∴四边形 ADBE 为矩形．
（2）∵在矩形 ADBE 中， AO=，
∴DE=AB= 5．
∵D是BC 的中点，
∴AE=DB=4，
∴根据勾股定理 ，
∴ ．
考点三：矩形折叠问题
例3．如图，将矩形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
3
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