《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十一讲 逆命题和逆定理（解析版）

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第十一讲 逆命题和逆定理
2.5 逆命题和逆定理
【学习目标】
1.了解命题与逆命题、定理与逆定理、互逆定理以及它们之间的关系.
2.线段垂直平分线定理的逆定理及其运用.
【基础知识】
一、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条
件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
二、线段垂直平分线定理的逆定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
已知：AB 是一条线段，P 是一点，且 PA=PB.
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
证明 (1)当点 P 在线段 AB 上时，结论显然成立．
(2)当点 P 不在线段 AB 上时，
作 PC⊥AB 于点 O．
PA=PB，PO⊥AB，
∵ OA=OB，
∴PC 是 AB 的垂直平分线．
∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
【考点剖析】
例1．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．两直线平行,同旁内角互补
B．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C．对顶角相等
1
D．如果 那么
【答案】C
【解析】
首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】
A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立；
B、逆命题是如果两个数也相等，那么这两个数的绝对值相等，成立；
C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
D、逆命题是如果 ，那么 ，成立，
故选 C．
点睛：本题考查的是逆命题
例2．下列说法错误的是（ ）
A． ， 是线段 的垂直平分线上的两点，则 ，
B．若 ， ，则直线 是线段 的垂直平分线
C．若 ，则点 在线段 的垂直平分线上
D．若 ，则过点 的直线是线段 的垂直平分线
【答案】D
【解析】
根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】
解:、 是线段 的垂直平分线上的点，
， ．故 正确，不符合题意；
、若 ，
在 的垂直平分线上．
同理 在 的垂直平分线上．
直线 是线段 的垂直平分线．故 正确，不符合题意；
、若 ，则点 在线段 的垂直平分线上，故 正确，不符合题意；
、若 ，则点 在线段 的垂直平分线上．但过点 的直线有无数条，不能确定过点 的直
2
线是线段 的垂直平分线．故 错误，符合题意．
故选： ．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．
例3．下列命题中，其逆命题成立的是（　　）
A．两条直线平行，内错角相等
B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果 a=b，那么 a2=b2
【答案】A
【解析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否
能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，
不一定相等也可能是相反，不成立；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不一定全等，不成立；
D、如果 a=b，那么 a2=b2的逆命题是如果 a2=b2，那么 a=b，也可能是 a= b﹣，不成立；
故选：A．
【点评】
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的
结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
例4．下列说法正确的是（ ）
A．一个命题一定有逆命题 B．一个定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解析】
命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的
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