《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十四讲 直角三角形全等的判定（解析版）

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第十四讲 直角三角形全等的判定
2.8 直角三角形全等的判定
【学习目标】
1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.
2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.
3. 了解角平分线的判定：角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上，及其简单应用．
【基础知识】
一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，
这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“ HL”）.这个
判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形
状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，
首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个 Rt△的条件.
三、角平分线的判定定理
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
要点：这个定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位
置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.
【考点剖析】
例1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【答案】D
【解析】
根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
解： 、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；
、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；
、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意；
1
、三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含
条件是解题的关键．
例2．如图，BE=CF，AE BC⊥，DF BC⊥，要根据“HL”证明 Rt ABE Rt DCF△ ≌ △ ，则还需要添加一个
条件是（　　）
A．AE=DF B．∠A= D∠C．∠B= C∠D．AB= CD
【答案】D
【解析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知 ，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
添加的条件是 AB＝CD；理由如下：
∵AE BC⊥，DF BC⊥，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt ABE△和Rt DCF△中，
，
∴ (HL)．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
例3．如图， 中， ， ， ， ， ，则
等于（ ）
2
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
利用 HL 可证明△ACD ECD≌△ ，可得∠ACD= ECD∠，即可得答案．
，
．
在 和 中， ，
，
．
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 等，注意：
AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，当运用 SAS 时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当的判定
方法是解题关键．
例4．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④
一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等
的有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】D
【解析】
画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．
【详解】
3
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