《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十三讲 勾股定理（原卷版）

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第十三讲 勾股定理
2.7 勾股定理
【学习目标】
1. 掌握勾股定理及其逆定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边
长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【基础知识】
一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a b，
，斜边长为
c
，那么
2 2 2
a b c 
.
要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程
求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
2 2 2
a c b 
，
2 2 2
b c a 
，
 
2
2
2c a b ab 
.
二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　 图（1）中 ，所以 .
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　　　 　　图（2）中 ，所以 .
1
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　　
　　　　 ，所以 .
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角
形.
四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如 ）.
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形；若
，则△ABC 不是直角三角形.
要点：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中
为三角形的最大边.
【考点剖析】
例1．在 Rt ABC△中，斜边长 BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A．18 B．9 C．6 D．无法计算
例2．如图，64、400 分别为所在正方形的面积，则图中字母 A所代表的正方形面积是（ ）
A．8 B．20 C．336 D．464
2
例3．直角三角形的两边长分别为 6和8，那么它的第三边长度为（　　）
A．8 B．10 C．8或2 D．10 或2
例4．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
D．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
例5．如图，2×2 的方格中，小正方形的边长是 1，点 A、B、C都在格点上，则 中 AB 边上
的高长为（ ）
A．B．C．D．
例6．如图，在 中， ，点 是 的中点，点 是 边上一点，且 ，
连接 ．若 ， ，则 的长（　　　）
3
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