《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十三讲 勾股定理（解析版）

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第十三讲 勾股定理
2.7 勾股定理
【学习目标】
1. 掌握勾股定理及其逆定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边
长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【基础知识】
一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a b，
，斜边长为
c
，那么
2 2 2
a b c 
.
要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程
求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
2 2 2
a c b 
，
2 2 2
b c a 
，
 
2
2
2c a b ab 
.
二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　 图（1）中 ，所以 .
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　　　 　　图（2）中 ，所以 .
1
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　　
　　　　 ，所以 .
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角
形.
四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如 ）.
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形；若
，则△ABC 不是直角三角形.
要点：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中
为三角形的最大边.
【考点剖析】
例1．在 Rt ABC△中，斜边长 BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A．18 B．9 C．6 D．无法计算
【答案】A
【解析】
试题分析：∵Rt△ABC 中，BC 为斜边，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AB2＋AC2＋BC2＝2BC2＝2×32＝18．
故选 A．
2
点睛：本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
例2．如图，64、400 分别为所在正方形的面积，则图中字母 A所代表的正方形面积是（ ）
A．8 B．20 C．336 D．464
【答案】C
【解析】
试题解析：根据正方形的面积公式，正方形的等于边长的平方，设 A代表的正方形的边长为 a，另一条直
角边为 b，斜边为 c，由勾股定理得：a2+b2=c2，所以 a2=c2-b2，
图中字母 A所代表的正方形面积是：400-64=336．
故选 C.
点睛：直角三角形中以两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
例3．直角三角形的两边长分别为 6和8，那么它的第三边长度为（　　）
A．8 B．10 C．8或2 D．10 或2
【答案】D
【分析】
分8为直角边、8为斜边两种情况，根据勾股定理计算．
【详解】
解：当 8为直角边时，斜边= =10，
当8为斜边时，另一条直角边= =2 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．
例4．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
3
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