《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十八讲 一元一次不等式（解析版）

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第十八讲 一元一次不等式
3.3 一元一次不等式
【学习目标】
1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；
2.能够熟练解一元一次不等式；
3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
【基础知识】
一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
250
3x
是一个一
元一次不等式．
要点：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为 1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；
一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
ax
（或
ax
）
的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为
ax b
（或
ax b
）的形式（其中
0a
）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
1
要点：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围
可用最简单的不等式来表示．如：不等式 x-2≤6 的解集为 x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确
定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆
点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点 a 而言，x＞a 或 x≥a 向右画；
对边界点 a 而言，x＜a 或 x≤a 向左画．
注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【考点剖析】
例1．在数学表达式： ， ， ， ， ， 中，是一元
一次不等式的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】
一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1，未知数的系数不为 0，左右两边为整式的
不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．
【解析】
-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；
是整式，不是一元一次不等式；
x=3 是方程，不是一元一次不等式；
x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；
x≠5 是一元一次不等式；
x+2＞y+3 是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
∴是一元一次不等式的有 1个
故选：A
．
2
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．
例2．与不等式 的解集相同的不等式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断．
【解析】
由 ，解得： ，
A、由 ，解得： ，故符合题意；
B、由 ，解得： ，故不符合题意；
C、由 ，解得： ，故不符合题意；
D、由 ，解得： ，故不符合题意；
故选 A．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键．
例3．不等式 4－2x＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
移项，得：-2x＞-4，
系数化为 1，得：x＜2，
故选 D．
【点睛】
考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘
3
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