《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第八讲 图形的轴对称 等腰三角形（解析版）

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第八讲 图形的轴对称 等腰三角形
2.1-2.2 图形的轴对称 等腰三角形
【学习目标】
1.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．
2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
3. 了解等腰三角形和等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性
【基础知识】
一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它
的对称轴.
要点：
　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一
定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线
对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
　　要点：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图
形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和
轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，
若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应
角相等.
　　要点：
（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中 AB、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，
∠B、∠C 是底角．
1
　　
2.等腰三角形的作法
已知线段 a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使 AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段 BC=a；
2.分别以 B,C 为圆心，以 b 为半径画弧，
两弧相交于点 A;
3.连接 AB,AC.
△ABC 为所求作的等腰三角形.
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B＝∠C
(3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三
条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于 45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为
钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝
180
2
A  
.
（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目
中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx 即为所求”.
(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边
三角形.
2
等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据
要熟记于心，比如边长为 a 的等边三角形它的高是
3
2
a
，面积是
2
3
4
a
.
【考点剖析】
例1．下列说法中正确的是（ ）
①对称轴上没有对称点；②如果 与△ 关于直线 对称，那么 ；③如果线段
，直线 垂直平分 ，则 和 关于直线 对称；④射线不是轴对称图形．
A．② B．①④ C．②④ D．②③
【答案】A
【分析】
根据轴对称的性质和定义，对题中条件进行一一分析，选出正确答案．
【详解】
①对称轴上有对称点，错误；
②如果 与△ 关于直线 对称，那么 ，正确；
③如果线段 ，直线 垂直平分 ，由于位置关系不明确，则 和 不一定关于直线
对称，错误；
④射线是轴对称图形，故本选项错误．
故选： ．
【点睛】
本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴
对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
例2．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
【答案】D
【分析】
根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进
3
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