《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第16讲 等腰三角形（原卷版）

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第16 讲 等腰三角形
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转
化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.
【基础知识】
考点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 是等腰三角形，其中 AB、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，
∠B、∠C 是底角．
　　
2.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.
1
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三
条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
考点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直
角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝
180
2
A  
.
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边
三角形.
考点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 60°.
性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
考点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底
边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
考点三、等腰三角形的判定定理
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角
对等边.
考点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，
性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
　　（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
2
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有 30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
考点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的
概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证
明命题的方法叫做反证法.
考点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证
明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立；
（2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定
理、性质或题设条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
【考点剖析】
考点一：等腰三角形中有关角度的计算题
例1．如图，已知△ABC 中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C 度数．
举一反三：
【变式】已知：如图，D、E 分别为 AB、AC 上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B 的度数．
考点二：等腰三角形中的分类讨论
3
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