《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第15讲 三角形全等的判定（解析版）

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第15 讲 三角形全等的判定
【学习目标】
认识全等三角形
全等三角形的性质
【基础知识】
考点一、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．
考点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
考点二、三角形的分类
1.按角分类：
考点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
考点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
考点三、三角形的三边关系
1
1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
考点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
2.三角形的重要线段：
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形
交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
考点四、全等三角形的性质与判定
1.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
2.全等三角形的判定定理
全等三角形判定 1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或
“SSS”）. “
全等三角形判定 2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角
边角”或“ASA”）.
全等三角形判定 3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简
写成“角角边”或“AAS”）
全等三角形判定 4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边
角边”或“SAS”）.
考点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线
段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上
方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【考点剖析】
考点一：三角形的三边关系及分类
2
例1．一个若三角形的两边长分别是 2 和 7,则第三边长 c 的取值范围是_______.
【思路】三角形的两边 a、b，那么第三边 c 的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.
【答案】三角形的两边长分别是 2 和 7, 则第三边长 c 的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即 5＜c＜9．
【总结】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．
举一反三
【变式】已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边 AC 的长可能是下列哪个值（　　）
　 A．11 B． 5 C． 2 D． 1
【答案】B．
解：根据三角形的三边关系，
6﹣4＜AC＜6+4，
即 2＜AC＜10，
符合条件的只有 5.
考点二：三角形的重要线段
例2．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC=　
．
【思路】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得 ∠DAC+ ∠ACF=
（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC 中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC 的度数．
【答案】70°．
【解析】
解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF；
又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴ ∠DAC+ ∠ACF= （∠B+∠2）+ （∠B+∠1）= （∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），
3
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