《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第14讲 因式分解之十字相乘（原卷版）

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第14 讲 因式分解之十字相乘
【学习目标】
1. 掌握十字相乘及用法
2. 灵活运用十字相乘分解因式
【基础知识】
考点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式
2
x bx c 
，若存在
pq c
p q b
 
，则
 
2
x bx c x p x q  
考点诠释：（1）在对
2
x bx c 
分解因式时，要先从常数项
c
的正、负入手，若
0c
，则
p q、
同
号(若
0c
，则
p q、
异号)，然后依据一次项系数
b
的正负再确定
p q、
的符号
（2）若
中的
b c、
为整数时，要先将
c
分解成两个整数的积(要考虑到分解的各
种可能)，然后看这两个整数之和能否等于
b
，直到凑对为止.
考点二、首项系数不为 1 的十字相乘法
在二次三项式
2
ax bx c 
(
a
≠0)中，如果二次项系数
a
可以分解成两个因数之积，即
1 2
a a a
，常
数项
c
可以分解成两个因数之积，即
1 2
c c c
，把
1 2 1 2
a a c c， ， ，
排列如下：
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到
1 2 2 1
a c a c
，若它正好等于二次三项式
2
ax bx c 
的一次项系数
b
，
即
1 2 2 1
a c a c b 
，那么二次三项式就可以分解为两个因式
1 1
a x c
与
2 2
a x c
之积，即
1
 
2
1 1 2 2
ax bx c a x c a x c  
.
考点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
　　（2）二次项系数
a
一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三
项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
考点三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方
法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先
对题目进行分组，然后再分解因式.
考点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分
解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③ 符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
考点四：添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或
分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟
练掌握技巧和方法.
【考点剖析】
考点一：十字相乘法
例1．将下列各式分解因式：
（1） ； （2）
2
10 16x x 
； （3）
2
310 xx
2
举一反三：
【变式 1】分解因式：（1）
107
2
xx
； （2）
82
2
xx
； （3）
2
7 18x x 
【变式 2】因式分解： .
例 2、将下列各式分解因式：
（1）
2
2 3
5 5
x x 
； （2）
2
5 1
6 6
x x 
（3）
2 2
6 16x xy y 
； （4） .
举一反三：
【变式】将下列各式分解因式：
（1）
2
1 1
3 6
x x 
； （2）
25 1
12 4
a a 
；
（3）
107
22 xyyx
； （4）
 
34
2
baba
.
3
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