《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第13讲 因式分解之公式法完全平方（解析版）

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第13 讲 因式分解之完全平方
【学习目标】
1. 掌握完全平方公式及用法
2. 灵活运用公式分解因式
【基础知识】
考点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即
 
2
2 2
2a ab b a b  
，
 
2
2 2
2a ab b a b  
.
形如
2 2
2a ab b 
，
2 2
2a ab b 
的式子叫做完全平方式.
考点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积
的 2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a
、
b
可以是字母，也可以是单项式或多
项式.
考点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
考点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【考点剖析】
考点一：公式法——完全平方公式
1
例1．下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）．
A． B． C． D．
【思路】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形
式，另一项是这两个数（或式）的积的 2 倍，对各项分析判断后利用排除法求解.
【答案】B；
【解析】A、 其中有两项-x2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项
错误；
B、 ，符合完全平方公式特点，故本选项正确；
C、 其中有两项 x2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
D、 ，不符合完全平方公式特点，故本选项错误.
【总结】本题主要考察了能用完全平方公式分解因式的式子特点，熟记公式结构是解题的关键.
举一反三：
【变式】若 x2+2（m﹣3）x+16 是完全平方式，则 m 的值是（　　）
　 A．﹣1 B． 7 C． 7 或﹣1 D． 5 或 1
【答案】C.
例 2、分解因式：
（1）
2
14 49x x 
； （2）
2
9 12 4x x 
； （3）
21
4
a a 
； （4）
．
【答案】
解：（1）
2 2 2 2
14 49 2 7 7 ( 7)x x x x x    
．
（2）
2 2 2 2
9 12 4 (3 ) 2 3 2 2 (3 2)x x x x x  
．
（3）
2 2
2 2
1 1 1 1
2
4 2 2 2
a a a a a
 
 
 
 
．
（4）
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
1 2 1 1 1
16 2 4 4 4
a b ab ab ab ab
 
 
 
 
．
【总结】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．
2
举一反三：
【变式】分解因式：
（1）
2
9( ) 12( ) 4a b a b  
； （2）
2 2
2 ( ) ( )a a b c b c  
；
（3）
2
10 25a a 
； （4）
2 2
( ) 4( )( ) 4( )x y x y x y x y  
．
【答案】
解：（1）
2
9( ) 12( ) 4a b a b  
2 2
[3( )] 2 3( ) 2 2a b a b  
2 2
[3( ) 2] (3 3 2)a b a b  
．
（2）
2 2
2 ( ) ( )a a b c b c  
2 2
[ ( )] ( )a b c a b c  
．
（3）
 
2 2
10 25 10 25a a a a  
2
( 5)a 
．
（4）
2 2
( ) 4( )( ) 4( )x y x y x y x y  
2 2
( ) 2 ( ) 2( ) [2( )]x y x y x y x y     
2 2
[( ) 2( )] (3 )x y x y x y  
．
例 3、分解因式：
（1）
2 2 3
4
16 2
x y xy y 
；（2）
4 2 2 4
16 8a a b b 
；（3）
2 2 2
( 3 ) ( 1)x x x  
．
【答案】
解：（1）
2 2 3
4
16 2
x y xy y 
2
2 2 2 2
( ) ( )
16 2 4
x xy x
y y y y  
．
（2）
4 2 2 4
16 8a a b b 
2 2 2 2 2 2
(4 ) [(2 )(2 )] (2 ) (2 )a b a b a b a b a b  
．
（3）
2 2 2
( 3 ) ( 1)x x x  
2 2
( 3 1)( 3 1)x x x x x x    
2 2 2 2
( 4 1)( 2 1) ( 4 1)( 1)x x x x x x x      
．
【总结】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因
式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解．
3
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