《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第12讲 因式分解之公式法平方差（解析版）

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第12 讲 因式分解之公式法
【学习目标】
1. 掌握平方差公式及用法
2. 灵活运用公式分解因式
【基础知识】
考点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
  
2 2
a b a b a b  
考点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整
式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a
、
b
可以是字母，也可以是单项式或多
项式.
考点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
考点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【考点剖析】
考点一：公式法——平方差公式
例1．下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　）
①x2+y2；② x2y﹣2；③﹣x2y﹣2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy y﹣2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
1
【思路】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，
进而可得答案．
【答案】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；② x2y﹣2；④﹣x2+y2；，共 2个，故选：B．
【总结】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平
方项等方面来判断．
2、分解因式：
（1）
2 2
9a b
； （2）
2 2
25 1x y
； （3）
2 2
16 81
9 4
a b 
； （4）
．
【思路】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进
行因式分解.
【答案】
解：（1）
2 2 2 2
9 (3 ) ( 3 )( 3 )a b a b a b a b  
．
（2）
2 2 2 2
25 1 (5 ) 1 (5 1)(5 1)x y xy xy xy 
．
（3）
2 2
2 2
16 81 9 4 9 4 9 4
9 4 2 3 2 3 2 3
a b b a b a b a
 
 
 
 
．
（4）
2 2 2
1 4 (2 ) 1 (2 1)(2 1)m m m m 
．
【总结】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“
2
1
”．
（3）一定要把两项写成
2 2
a b
的形式，再套用平方差公式．
举一反三：
【变式 1】分解因式：
（1）
2
1
25 16 m
；（2）
2 2
( 2) 16( 1)x x 
．
【答案】
解：（1）
2
1
25 16 m
2
2
1 1 1
5 5 5
4 4 4
m m m
 
 
 
 
．
（2）
2 2
( 2) 16( 1)x x 
2 2
16( 1) ( 2)x x  
[4( 1) ( 2)][4( 1) ( 2)]x x x x    
2
(3 6)(5 2) 3( 2)(5 2)x x x x   
．
【变式 2】下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
　 A.（2a+b）（2b﹣a） B.（﹣ x+1）（﹣ x﹣1）
C.（a+b）（a﹣2b） D.（2x﹣1）（﹣2x+1）
【答案】B．
考点二：平方差公式的应用
例2．计算 20152﹣2014×2016 的结果是（　 　）
　 A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【思路】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【答案】D；
【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，
故选 D.
【总结】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
举一反三：
【变式 1】如图，在边长为
a
的正方形中挖掉一个边长为
b
的小正方形
)( ba
，把余下的部分剪成一个矩
形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）
A.
  
2 2
a b a b a b  
B.
 
22 2
2a b a ab b  
C.
 
22 2
2a b a ab b  
D.
 
2 2
2 2a b a b a ab b  
【答案】A；
【变式 2】用简便方法计算：（1）
2
1999 1998 2000 
；（2）
2 2
535 6 6 465  
.
【答案】
解：（1）原式
  
2
1999 1999 1 1999 1  
3
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