《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第11讲 因式分解之提取公因式（原卷版）

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第11 讲 因式分解之提取公因式
【学习目标】
1. 知道什么是多项式各项的公因式
2. 会用提取公因式对多项式分解因式
【基础知识】
考点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
考点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，
因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆 .因式分解是一种恒等变形，而整
式乘法是一种运算.
考点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
考点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数 .
② 字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
考点三、提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
m
，另一个因
式是 ，即 ，而 正好是 除以
m
所得的
商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
考点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数
1
变为正数，同时多项式的各项都要变号.
　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取
公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0 而出现错误.
【考点剖析】
考点一：因式分解的概念
例1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
举一反三：
【变式】下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
　A.a
2
+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B.a
2
+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
　 C.（a﹣3）（a+7）=a
2
+4a﹣21 D.a
2
+4a﹣21=（a+2）
2
﹣25
考点二：提公因式法分解因式
例2．(1)多项式
2
3 6 3x xy 
的公因式是________；
(2)多项式
3 2
4 16 8mn m m 
的公因式是________；
(3)多项式
的公因式是________；
(4)多项式
2( 3) (3 )x x x 
的公因式是________．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（　　）
A．
2
x y
B．
22x x
C．
2
x y
D．
2
x xy y
 
3、若
     
2 3 2
p q q p q p E  
，则 E 是（　　）
A．
1q p 
B．
q p
C．
1p q 
D．
1q p 
举一反三：
2
【变式】把多项式
    
1 1 1m m m  
提取公因式
 
1m
后，余下的部分是（　　）
A．
1m
B．
2m
C．2 D．
2m
4、分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）.
举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（　　）
A．
 
2 2 2
12 9 3 4 3abc a b c abc ab  
B．
 
2 2
3 3 6 3 2x y xy y y x x y  
C．
 
2
a ab ac a a b c  
D．
 
2 2
5 5x y xy y y x x  
考点三：提公因式法分解因式的应用
例3．若
023
2
xx
，求
xxx 462
23
的值.
【真题演练】
3
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