《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第11讲 因式分解之提取公因式（解析版）

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第11 讲 因式分解之提取公因式
【学习目标】
1. 知道什么是多项式各项的公因式
2. 会用提取公因式对多项式分解因式
【基础知识】
考点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
考点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，
因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆 .因式分解是一种恒等变形，而整
式乘法是一种运算.
考点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
考点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数 .
② 字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
考点三、提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
m
，另一个因
式是 ，即 ，而 正好是 除以
m
所得的
商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
考点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数
1
变为正数，同时多项式的各项都要变号.
　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取
公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0 而出现错误.
【考点剖析】
考点一：因式分解的概念
例1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
【思路】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．
【答案】C.
【解析】A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不符合题意；
C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意；
D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．
故选：C．
【总结】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘
积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
　A.a
2
+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B.a
2
+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
　 C.（a﹣3）（a+7）=a
2
+4a﹣21 D.a
2
+4a﹣21=（a+2）
2
﹣25
【答案】B.
考点二：提公因式法分解因式
例2．(1)多项式
2
3 6 3x xy 
的公因式是________；
(2)多项式
3 2
4 16 8mn m m 
的公因式是________；
(3)多项式
的公因式是________；
(4)多项式
2( 3) (3 )x x x 
的公因式是________．
2
【答案】(1)3 (2)4
m
(3)
b c a 
(4)
3x
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
(1)的公因式就是 3、6、3 的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式
为 3.
(2)公因式的系数是 4、16、8 的最大公约数，字母部分是
m
．公因式为 4
m
.
(3)公因式是（
b c a 
），为一个多项式因式．
(4)多项式可变形
   
2 3 3x x x 
，其公因式是
3x
．
【总结】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式
还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（　　）
A．
2
x y
B．
22x x
C．
2
x y
D．
2
x xy y
 
【答案】B；
3、若
     
2 3 2
p q q p q p E  
，则 E 是（　　）
A．
1q p 
B．
q p
C．
1p q 
D．
1q p 
【答案】C；
【解析】
解：
 
2 3
p q q p  
 
21q p p q  
．故选 C．
【总结】观察等式的右边，提取的是
 
2
q p
，故可把
 
2
p q
变 成
 
2
q p
，即左边＝
 
21q p p q  
.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的
位置，应加上负号．
举一反三：
【变式】把多项式
    
1 1 1m m m  
提取公因式
 
1m
后，余下的部分是（　　）
A．
1m
B．
2m
C．2 D．
2m
【答案】D；
3
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