《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第8讲 幂的运算（解析版）

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第8讲 幂的运算
【学习目标】
了解并掌握幂的运算，理解公式的含义
【基础知识】
考点一、同底数幂的乘法性质
 
m n m n
a a a
(其中
,m n
都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
考点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即
m n p m n p
a a a a  
 
（
, ,m n p
都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数
相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
m n m n
a a a
 
（
,m n
都是正整数）.
考点二、幂的乘方法则
( )
m n mn
a a
(其中
,m n
都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
考点诠释：（1）公式的推广：
(( ) )
m n p mnp
a a
(
0a
，
均为正整数)
（2）逆用公式：
 
n m
mn m n
a a a 
，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
考点三、积的乘方法则
( )  
n n n
ab a b
(其中
n
是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相
乘.
考点诠释：（1）公式的推广：
( )  
n n n n
abc a b c
(
n
为正整数).
（2）逆用公式：
 
n
n n
a b ab
逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互
1
为倒数时，计算更简便.如：
10 10
10
1 1
2 2 1.
2 2
 
 
 
 
考点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【考点剖析】
考点一：同底数幂的乘法性质
例1．计算：
（1）
2 3 4
4 4 4 
；（2）
3 4 5 2 6
2 2a a a a a a   
；
（3）
1 1 2 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n m n m
x y x y x y x y x y
   
   
．
【答案】
解：（1）原式
2 3 4 9
4 4
 
 
．
（2）原式
3 4 5 2 6 1 7 7 7 7
2 2 2 2a a a a a a a
 
   
．
（3）原式
1 1 2 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2( )
n n m n m n m n m n m
x y x y x y x y x y
   
   
．
【总结】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要
注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（ 2）小题中
a
的指数是 1．在第（3）小题中
把
x y
看成一个整体．
举一反三：
【变式】计算：
（1）
5 3 2
3 ( 3) ( 3)   
；
（2）
2 2 1
( ) ( )
ppp
x x x
   
（
p
为正整数）；
2
（3）
2
32 ( 2) ( 2)
n
 
（
n
为正整数）．
【答案】
解：（1）原式
5 3 2 5 3 2 5 3 2 10
3 ( 3) 3 3 3 3 3 3
 
     
．
（2）原式
2 2 1 2 2 1 5 1
( )
p p p p p p p
x x x x x
 
   
．
（3）原式
5 2 5 2 1 6 2
2 2 ( 2) 2 2
n n n 
   
．
考点二：幂的乘方法则
例2．计算：
（1）
2
( )
m
a
；（2）
3 4
[( ) ]m
；（3）
．
【思路】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是
a
，（2）题中的底数是
m
，（3）题中的底数
a
的指
数是
3m
，乘方以后的指数应是
2(3 ) 6 2m m  
．
【答案】
解：（1）
2
( )
m
a
2m
a
．
（2）
3 4
[( ) ]m
12 12
( )m m 
．
（3）
3 2
( )
m
a
2(3 ) 6 2m m
a a
 
 
．
【总结】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法
混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
考点三：积的乘方法则
例3．指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）
2 2
( )ab ab
； （2）
3 3 3
(4 ) 64ab a b
； （3）
3 2 6
( 3 ) 9x x  
．
【答案】
解：（1）错，这是积的乘方，应为：
2 2 2
( )ab a b
．
（2）对．
3
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