《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第7讲 实数（解析版）

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第7讲 实数
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【基础知识】
考点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
考点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成
分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含
π
类.② 看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③ 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
5
.
考点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母 R表
示.
1.实数的分类
按定义分：
实数
 
 
 
 
 
 
 
 
正有理数
有理数 零 有限小数或无限循环小数
负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
按与 0 的大小关系分：
实数
0
正有理数
正数 正无理数
负有理数
负数 负无理数
1
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
考点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于 0，负实数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小.
考点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，
而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运
算法则及运算性质等同样适用.
【考点剖析】
考点一：实数概念
例1．把下列各数分别填入相应的集合内：
32
，
1
4
，
2
( 2) 4 
，
，
5
2
，
2
，
20
3
，
5
，
38
，
4
9
，0，0.3737737773……（相邻两个 3
之间 7 的个数逐次增加 1）
【答案】
解：有理数有：
1
4
，
5
2
，
38
，
4
9
，0，
无理数有：
32
，
7
，
π
，
2
，
20
3
，
5
， 0.3737737773……
【总结】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含
类.② 看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③ 带有根号
2
…
有理数集合
…
无理数集合
的数，但根号下的数字开方开不尽，如
32
，
7
，
2
，
20
3
，
5
.
举一反三：
【变式】已知下列结论：
①任何一个无理数都能用数轴上的点表示；
②每个实数都对应数轴上一个点；
③在数轴上的点只能表示无理数；
④有理数有无限个，无理数有有限个；
⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数；
⑥﹣3 是（﹣3）2的算术平方根．
其中正确的结论是（　　）
　 A．①② B． ①②⑥ C． ③④⑥ D． ②④⑤
【答案】A．
解：①∵任何一个无理数都能用数轴上的点表示，∴①正确；
②∵实数和数轴上的点一一对应，∴每个实数都对应数轴上一个点，∴②正确；
③∵在数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，∴在数轴上的点只能表示无理数这种说法不正
确，∴③不正确；
④根据有理数、无理数的含义，可得有理数有无限个，无理数有无限个，∴④不正确；
⑤无理数都是无限小数，但是不带根号的数可能是无理数，例如：3.1415926535…不带根号，但是它
是无理数，∴⑤不正确；
⑥∵3 是（﹣3）2的算术平方根，∴⑥不正确．
综上，可得①②．
故选：A．
考点二：实数大小的比较
例2．比较
2010 1
与
1949 1
的大小．
【思路】根据
a b
，
b c
，则
a c
来比较两个实数的大小．
【答案】
解：因为
2010 1 2025 1 45 1 44     
，
1949 1 1849 1 43 1 44     
．
所以
2010 1
＜
1949 1
【总结】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.
3
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