《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第6讲 平方根与立方根（解析版）

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第6讲 平方根与立方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
3. 了解立方根的含义；
4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【基础知识】
考点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果
2
x a
，那么
x
叫做
a
的平方根.求一个数
a
的平方根的运算，叫做开平方.
a
叫做被开方数.平
方与开平方互为逆运算.
2.算术平方根的定义
正数
a
的两个平方根可以用“
a
”表示，其中
a
表示
a
的正平方根（又叫算术平方根），读作
“根号
a
”；
a
表示
a
的负平方根，读作“负根号
a
”.
考点诠释：当式子
a
有意义时，
a
一定表示一个非负数，即
a
≥0，
a
≥0.
考点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
a
和
a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0 的平方根和算术平方根均为 0．
考点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没
有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.
因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
考点三、平方根的性质
1
2
0
| | 0 0
0
a a
a a a
a a
 
 
 
 
2
0a a a 
考点四、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么
叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
考点诠释：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3 是根指数. 开立方和立方互为逆
运算.
考点五、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.
考点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相
同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
考点六、立方根的性质
考点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【考点剖析】
考点一：平方根和算术平方根的概念
例1．下列说法错误的是（　　）
A.5 是 25 的算术平方根 B.l 是 l 的一个平方根
C.
 
2
4
的平方根是－4 D.0 的平方根与算术平方根都是 0
【答案】C；
2
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为
25
＝5，所以本说法正确；
B.因为±
1
＝±1，所以 l 是 l 的一个平方根说法正确；
C.因为±
 
2
4
＝±
16
＝±4，所以本说法错误；
D.因为
0
＝0，
0
＝0，所以本说法正确；
【总结】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）
9
没有平方根．（ ）
（2）
16 4 
．（ ）
（3）
2
1
( )
10
的平方根是
1
10
．（ ）
（4）
2
5
 
是
4
25
的算术平方根．（ ）
【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）
16 4
；（4）
2
5
是
4
25
的算术平方根．
考点二：利用平方根解方程
例2．（鄂州校级期中）求下列各式中的 x 值，
（1）169x2=144
（2）（x﹣2）2﹣36=0．
【思路】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【答案】
解：（1）169x2=144，
x
2144
=169
，
3
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