《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第3讲 一元一次不等式（解析版）

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第3讲 一元一次不等式
【学习目标】
1.了解一元一次不等式的含义
2.解不等式
3.不等式应用
【基础知识】
考点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等
关系的式子也是不等式．
考点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等
于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等
于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如 3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如 2x＞5 中，x 表示未知数，
对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
考点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c
不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
1
用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或
a b
c c
)．
不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或
a b
c c
)．
考点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系 ，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质 2 和性质 3 的区别，在乘(或除以)同一个
数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
考点三、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
ax
（或
ax
）
的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为
ax b
（或
ax b
）的形式（其中
0a
）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
考点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
考点四、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
考点诠释：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
2
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围
可用最简单的不等式来表示．如：不等式 x-2≤6 的解集为 x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
考点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确
定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆
点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点 a 而言，x＞a 或 x≥a 向右画；
对边界点 a 而言，x＜a 或 x≤a 向左画．
注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
考点五、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
= 100%
利润
利润率 进价
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×时间
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3 2
10 10 10abcd a b c d  
.
考点六、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如
“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
考点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
3
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