《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第2讲 一次方程组（解析版）

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第2讲 一次方程组
【学习目标】
1.理解一次方程组的含义；
2.求解一次方程组；
3.一次方程组的 hi 应用.
【基础知识】
考点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程．
考点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
考点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
考点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：
2,
5.
x
y
．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
考点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
考点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如
52
013
yx
x
也是二元一次方程组.
考点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
考点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成
x a
y b
的形式．
1
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
2 5
2 6
x y
x y
 
 
无解，而方程组
1
2 2 2
x y
x y
 
 
的解有无数个．
考点五、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组
转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知
数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
考点六、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入
法．
考点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式 ，
再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
考点七、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去
这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
考点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方
程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两
个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
2
考点八、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过
适当练习做到巧妙选择，快速消元．
考点九、常见的一些等量关系
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.增收节支问题：
（1）增长（递减）率公式：
原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量；
（2）利润公式：
利润=总收入-总支出 ；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)ø
（3）银行利率公式：
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率× .
考点诠释：
　 增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过
程．
3.行程问题：
　速度×时间=路程.
　顺水速度=静水速度+水流速度.
　逆水速度=静水速度-水流速度.
4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两
位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为 10b+a．
考点十、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起
3
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