《新八年级数学暑假精品课程（华师大版）》第1讲 一元一次方程（解析版）

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第1讲 一元一次方程
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性．
【基础知识】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为 ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为 1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质 1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
等式的性质 2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)．
1
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相
等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如： .
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结
论．
【考点剖析】
考点一：一元一次方程的概念
例1．如果方程（k﹣1）x|k|+3=0 是关于 x 的一元一次方程，那么 k 的值是　　．
【思路】根据一元一次方程的定义知|k|=1且未知数是系数 k﹣1≠0，据此可以求得 k的值．
【答案】 ﹣1．
【解析】
解：∵方程（k﹣1）x|k|+3=0 是关于 x 的一元一次方程，
∴|k|=1，且 k﹣1≠0，
解得，k=﹣1；
故答案是：﹣1．
【总结】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为 1，且未知数的系数不
为零．
举一反三：
【变式】下列说法中正确的是( ).
A．2a-a=a 不是等式 B．x2-2x-3 是方程 C．方程是等式 D．等式是方程
【答案】C
2
2. 若方程 3(x-1)+8＝2x+3 与方程 的解相同，求 k的值．
【答案】
解：解方程 3(x-1)+8＝2x+3，得 x＝-2．
将x＝-2 代入方程 中，得 ．
解这个关于k的方程，得 ．
所以， ．
【总结】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．
举一反三：
【变式】当x=　　时，代数式 2x+1 与 5x﹣8 的值相等．
【答案】3．
解：根据题意得：2x+1=5x﹣8，
∴2x﹣5x=﹣8﹣1，
∴﹣3x=﹣9，
∴x=3.
考点二：一元一次方程的解法
例2．解方程
【思路】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为 1)，一步一步将一个复杂的方程
转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．
【答案】
解：去分母，得 3(y+2)-2(3-5y)＝12
去括号，得 3y+6-6+10y＝12
合并同类项，得 13y＝12
未知数的系数化为 1，得
【总结】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问
题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方
程转化为简单的方程直至求出它的解．
举一反三：
3
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