《新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）》第七讲 多边形的内角和（解析版）

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第七讲 多边形的内角和
【学习目标】
1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.
2.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.
【新课讲解】
知识点 1：多边形的内角和
问题 1：三角形内角和是多少度？三角形内角和 是 180°.
问题 2：你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？都是 360°.
问题 3：猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想：四边形
ABCD
的内角和是 360°.
证明：方法 1 如图，连接
AC
,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形
ABCD
内角和为 180°×2=360°.
【例题 1】如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：
△DCF 为直角三角形．
证明：∵在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF 为直角三角形．
问题 4 根据下列表格探究 n 边形内角和公式
1
多边形的内角和公式：
n 边形内角和等于(n-2)×180 °.
【例题 2】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，
发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
【答案】内角是 135°，九边形．
【解析】多边形的内角的度数在 0°—180°之间.
设此多边形的内角和为 x，
则有 1125°＜x＜1125°＋180°，
即 180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，
因为 x 为多边形的内角和，所以它是 180°的倍数，
所以 x＝180°×7＝1260°.
所以 7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是 135°，这个多边形是九边形．
知识点 2：多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
问题 1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
答：互补
问题 2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
2
答：5×180°=900°
问题 3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
答：五边形外角和=5 个平角－五边形内角和
=5×180°－(5－2) × 180°
=360 °
结论：五边形的外角和等于 360°.
探究：在 n 边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 n 边形的外角和．
n 边形外角和 =n 个平角-n 边形内角和
= n×180 °－(n－2) × 180°
=360 °
结论：n 边形的外角和等于 360°.
【例题 3】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
【答案】见解析。
【解析】设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°，
则得到一个方程组
解得
而任何多边形的外角和是 360°，
3
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