《人教版九年级数学上册教学案》24.3 正多边形与圆讲义 学生版

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24.3 正多边形和圆
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
2.知道正多边形的对称性。了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而做出圆内接或圆外切正多边形。
3.会用圆规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。
知识点一 正多边形和圆的关系
1. 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
2. 正多边形与圆的关系
把一个圆分成 n（n是大于 2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
【例题】如图所示，六边形 ABCDEF 内接于⊙O，且 AB=BC=CD=DE=EF=FA.求证：六边形 ABCDEF 为
正六边形。
【变式 2】正八边形的中心角是（　　）
A．45° B．135° C．360° D．1080°
知识点二 正多边形的有关概念与计算
正多边形的有关概念o
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
② 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③ 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
1
【例题】有一个亭子，它的地基是半径为 8m 的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）
【变式】已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积．
知识点三 正多边形的画法
要作半径为 R的正 n边形，只要把半径为 R的圆 n等分，然后顺次连接各等分点即可。
正三角形的画法
第一步：用圆规画一个圆，
第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点 P画弧与圆交
于两点 A、B，
第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点 A处再画画弧与圆交于
两点 P、Q(P 是第二步中的 P)，
第四步：以 A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ 即为圆内接等边△。
2
P
正四边形的画法
取已知圆 O上任一点 A，以 A为一个分点把⊙O六等分，分点依
次为 A、B、C、D、E、F。分别以 A、D为圆心，AC、BD 为半径作圆
交 于 G， 以 A为圆心，OG 为半径作圆，交⊙O于M、N， 则
A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是 取
AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片
正五边形的画法
1以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径 MN 和AP。
2平分半径 ON，得 OK=KN。
3以K为圆心，KA 为半径画弧与 OM 交于 H，AH 即为正五边
形
的边长。
④以 AH 为弦长，在圆周上截得 A、B、C、D、E点，
正七变形的画法
① 以定长 R为半径作圆，并过圆心 O作互相垂直的纵横两条直径 MN、HP.
3
P
H
F
O
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