《人教版九年级数学上册教学案》24.3 正多边形与圆讲义 教师版

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24.3 正多边形和圆
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
2.知道正多边形的对称性。了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而做出圆内接或圆外切正多边形。
3.会用圆规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。
知识点一 正多边形和圆的关系
1. 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
2. 正多边形与圆的关系
把一个圆分成 n（n是大于 2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
【例题】如图所示，六边形 ABCDEF 内接于⊙O，且 AB=BC=CD=DE=EF=FA.求证：六边形 ABCDEF 为
正六边形。
【解析】判断一个圆内接多边形是正多边形，关键是判断多边形的各顶点都是等分圆的点即可
【解】∵六边形 ABCDEF 内接于⊙O,且AB=BC=CD=DE=EF=FA.
∴弧 AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EF=弧FA
∴A.B.C.D.E.F 六等分⊙O
∴六边形 ABCDEF 为正六边形
【变式 1】正多边形的中心角是 36°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】正多边形和圆．
1
【分析】设这个正多边形的边数是 n，再根据正多边形的中心角是 36°求出这个正多边形的边数即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数是 n，
∵正多边形的中心角是 36°，
∴=36°，
解得 n=10．
故选 A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此
题的关键．
【变式 2】正八边形的中心角是（　　）
A．45° B．135° C．360° D．1080°
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于 360°÷8=45°；
故选 A．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
知识点二 正多边形的有关概念与计算
正多边形的有关概念“
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
② 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③ 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【例题】有一个亭子，它的地基是半径为 8m 的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）
2
【考点】正多边形和圆．
【分析】连接 OB、OC 求出圆心角∠BOC 的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；
过O作△OBC 的高 OG，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出 OG 的长，利用三角形的面积公式
即可解答．
【解答】解：连接 OB、OC；
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOC= =60°，
∴△OBC 是等边三角形，
∴BC=OB=8m，
∴正六边形 ABCDEF 的周长=6×8=48m．
过O作OG BC⊥于G，
∵△OBC 是等边三角形，OB=8m，
∴∠OBC=60°，
∴OG=OB•sin OBC=8×∠=4 m，
∴SOBC△= BC•OG= ×8×4 =16 ，
∴S六边形 ABCDEF=6S OBC△=6×16 =96 m2．
3
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