《人教版九年级数学上册教学案》22.3 实际问题与二次函数 学案 教师版

3.0 envi 2025-04-24 4 4 405.86KB 18 页 3知币
侵权投诉
22.3 实际问题与二次函数
教学目标：
1. 能根据二次函数的性质，确定二次函数的最大（或最小）值。
2. 能根据具体问题中的数量关系，用相应的二次函数的概念、图形及性质解决现实生活中求最大面积、
最大利润、拱形建筑物的计算问题等。
3. 体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学的应用价值。
教学重难点： 
重点：会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题. 
难点：建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.
知识点一 二次函数的最值
一般地，当 >0（<0）时，抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是说，当
时，二次函数 有最小（大）值 。
【例题】抛物线 y=（x﹣1）2+3（　　）
A．有最大值 1 B．有最小值 1 C．有最大值 3 D．有最小值 3
【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最大（小）值的方法．
【解答】解：由函数关系式可知，
x 的系数为 1＞0，
抛物线 y=（x﹣1）2+3 有最小值，
于是当 x=1 时 y=3．
故选：D．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是
公式法．
【变式 1】关于二次函数 y=﹣2（x﹣3）2+5 的最大值，下列说法正确的是（　　）
A．最大值是 3   B．最大值是﹣3  C．最大值是 5  D．最大值是﹣5
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：因为 a=﹣2＜0，
所以二次函数 y=﹣2（x﹣3）2+5 的最大值为 5，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，最值解答．
【变式 2】二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的最大值是（　　）
A．﹣7 B．5 C．0 D．9
【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．
【解答】解：y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，
即二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的最大值是 9，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．
【变式 3】已知二次函数 y=x2﹣4x+m 的最小值是﹣2，那么 m 的值是　  2  　  ．
【分析】先把 y=x2﹣4x+m 配成顶点式得到 y=（x﹣2）2+m﹣4，根据二次函数的性质得到当 x=2 时，y 有最
小值为 m﹣4，根据题意得 m﹣4=﹣2，然后解方程即可．
1
【解答】解：y=x2﹣4x+m
=（x﹣2）2+m﹣4，
∵a=1＞0，
∴当 x=2 时，y 有最小值为 m﹣4，
∴m﹣4=﹣2，
∴m=2．
故答案为 2．
【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 a＞0 时，抛物线在对称轴左侧，
y 随 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x=
时，y= ；当 a＜0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的
增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x= 时，y= ．
知识点二 建立二次函数模型求生活中的最大（小）值问题
在日常生活中，经常会遇到求某种图形的最大面积或活力最大经济利润或怎么样最节省开支问题，利用
二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，即把这类问题转化为求二次函数的最大（小）值问题。解
决这类问题的一般步骤为：
（1）找等量：分析题目中的数量关系
（2）列式：列出函数解析式
（3）求最大（小）值；利用配方法把 化为 的形式或利用公式法确定最
值。
【例题】如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长
为 x 米，则菜园的面积 y（单位：米 2）与 x（单位：米）的函数关系式为多少？
【分析】由 AB 边长为 x 米根据已知可以推出 BC= （30﹣x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关
系式．
【解答】解：∵AB 边长为 x 米，
而菜园 ABCD 是矩形菜园，
∴BC= （30﹣x），
菜园的面积=AB×BC= （30﹣x）•x，
则菜园的面积 y（单位：米 2）与 x（单位：米）的函数关系式为：y=﹣ x2+15x．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式用 x 表示 BC，然后利用矩
形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到 BC 长．
　
【变式 1】如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃
2
的宽AB 为 x 米，面积为 S 平方米．
（1）求 S与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为 9 米，求此时自变量 x 的取值范围．
【分析】（1）花圃的面积=AB×（篱笆长﹣3AB），根据边长为正数可得自变量的取值范围；
（2）结合（1）及 AD 不大于 9 可得自变量的公共取值．
【解答】解：（1）S=BC×AB=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x
由题意得：
0＜x＜8            
（2）∵24﹣3x≤9
∴x≥5
结合（1）得，5≤x＜8．
【点评】考查一次函数的应用；得到 AD 边长的关系式是解决本题的突破点；得到自变量的取值是解决本题
的易错点．
【变式 2】某养猪专业户利用一堵砖墙（长度足够）围成一个长方形猪栏，围猪栏的栅栏一共长 40m，设这
个长方形的相邻两边的长分别为 x（m）和 y（m）．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若长方形猪栏砖墙部分的长度为 5m，求自变量 x 的取值范围．
【分析】（1）由题意可得 y 关于 x 的函数表达式，由 x＞0，40﹣2x＞0，从而可以得出 x 的取值范围．
（2）由题意可知，y≤5，然后根据第一问中的表达式可以确定 x 的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可得，2x+y=40，
∴y=40﹣2x．
∴自变量 x 满足的条件为 ．
解不等式组得，0＜x＜20．
∴y 关于 x 的函数表达式为：y=40﹣2x（0＜x＜20）．
（2）由题意可得，40﹣2x≤5，
解得，x≥17.5．
故长方形猪栏砖墙部分的长度为 5m，自变量 x 的取值范围为：17.5≤x＜20．
【点评】本题考查根据实际问题列出函数的关系式并且确定自变量的取值范围，关键是明确题意，找出相
应的关系，确定自变量的取值范围．
知识点三 建立二次函数模型解决生活中的抛物线形问题
3
《人教版九年级数学上册教学案》22.3 实际问题与二次函数 学案 教师版.doc

共18页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：18 页 大小：405.86KB 格式：DOC 时间：2025-04-24

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 18
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注