《人教版九年级数学上册教学案》21.3 实际问题与一元二次方程讲义 教师版

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21.3 实际问题与一元二次方程
【学习目标】
1.会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题。
2.经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用，进一步提高在实际问题中运用方
程这种重要数学工具的基本能力。
【学习重难点】
重点：列一元二次方程解决实际问题。
难点：找出题目中的等量关系。
知识点一 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
与列一元一次方解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤为：
1．审：审清题意，明确那些死未知量，哪些是已知量，以及它们之间的关系；
2．设：根据题意，设恰当的未知数。设未知数有“直接设元”和“间接设元”两种方法；
3．列：将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表达出来，再根据相关关系列出方程；
4．解：解方程，得出未知数的值；
5．验：检验得出的方程的解是否符合题意，舍去不符合一题的解；
6．答：写出正确的解．
【例题】某果园有 100 棵桃树,一棵桃树平均结 1000 个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每
多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少 2 个.如果要使产量增加 15.2%,那么应种多少棵桃树?
解设：应种桃树 x 棵，依题意得：
整理得：
解这个方程，得
答;应多种桃树 20 棵或者 380 棵
1
【变式】某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20 件,每件盈利 40 元.为了尽快减少库存,商场决
定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低 1 元时,平均每天能多售出 2 件.商场要想平均每
天盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元?
得根据题意元设每件衬衫应降价解 ,,: x
.1200)
1
220)(40( x
x
.020030:
2
xx整理得
得解这个方程,
.10,20
21
xx
.40220,60220 xx 或
知识点二 列一元二次方程解决平均增长率
（1）增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率
(2) 连 续 两 次 增 长 ， 且 增 长 率 相 等 的 问 题 ： 若 原 来 为 m ， 现 在 为 n ， 增 长 率 为 x ， 满 足 公 式
如果是连续两次下降则为：
【例题 1】雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收
到捐款 10000 元，第三天收到捐款 12100 元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，捐款增长 率；
（2）（1）中收到捐款的增长率，第天单位能收到多少捐款
解：（1）设捐款增长率为 x，根据题意列方程得，
10000×（1x）2=12100，
解得 x1=0.1，x2=2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为 10%．
（2）12100×（110%）=13310 元．答：第天单位能收到 13310 元捐款．
【变式 1】 某 2006 已有 300 公，经过两，增加，到 2008 增
加到 363 公．设平均每的增长率为
x
，题意，列方程正确的是（）
．300(1
x
)=363 ．300(1
x
)2=363 ．300(12
x
)=363 ．363(1
x
)2=300
2
【解析】
设 平 均 增 长 分 率 为
x
，题 意 知 基 数 为 300 公 ， 则 到 2004   的    为 ：
300300
x
=300（1
x
）（公）；到 2008 的为：300（1
x
）300（1
x
）
x
=300（1
x
）2公，
到 2008 为 363 公，以 300(1
x
)2=363．
【变式 2】某种 基地 2016 !"产量为 80 #，$% 2018 !"产量达到 100 #，!"产量的平均
增长率，设!"产量的平均增长率为 x，则&列方程为（）
．80（1x）2=100 ．100（1'x）2=80 ．80（12x）=100 ．80（1x2）=100
【分析】利用增长(的量=增长)的量×（1增长率），设平均每次增长的分率为 x，根据“*80 #增
加到 100 #”，+&得出方程．
【解答】解：题意知，!"产量的平均增长率为 x，
根据 2016 !"产量为 80 #，则 201, !"产量为 80（1x）#
，2018 !"产量为 80（1x）（1x）#，$% 2018 !"产量达到 100 #，
+：80（1x）（1x）=100 或 80（1x）2=100．
-.：．
【点/】0题1查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关2在3理清题目的含4，找到 201, 
和 2018 的产量的代数式，根据5件找准等量关系式，列出方程．
【变式 3】某去 6 78收9:;中<学=50 名，>%?在明 6 78=结@(，使9:;A中<三
8=B人数达到 450 名．若9:;中<8=人数平均每CD的增长率相同，这个增长率．
【分析】：设平均增长率为 x,A去8收 50 名,则E8收 50(1x)名，明8收 50(1x)2 名，根据“三
8=B人数达到 450 名”，
&列方程：5050(1x) 50(1x)2A=450，AA
整理得：x2A3x6=0A
解得：x1=（3根F33）G2（舍），x2=1.3,=13,%，AA
答：平均增长率为 13,%．
知识点三 列一元二次方程解决与HIJK有关的应用题
与HIJK有关的一元二次方程的应用题L要是将数量及数量之间的关系MN在JK中，用JK表O
出来，这样的JKL要有：三PK、QK、正（长）方K，以(R会有S。T及三PK的三Q关系、三
PK全等、的%U、体的%U、VW定理。
3
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