《人教版九年级数学上册教学案》21.1 一元二次方程讲义 学生版

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21.1 一元二次方程
一、教学目标
（1）会根据简单的实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想.
（2）了解一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式.
（3）会判断一个数是否是一个一元二次方程的解及利用他们解决一些具体问题.
二、教学重难点
（1）教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式，一元二次方程的根；
（2）教学难点：通过列出一元二次方程来解决实际问题；
知识点一：一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元
二次方程.
【提醒】
由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知
数的最高次数是 2.这样的方程才是一元二次方程.
例 1.下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
例 2．下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（　　）
A．x2+ =1 B．ax2+bx+c=0 C．（x+1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=0
变式 1.若关于 x 的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（　　）
1
A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0
变式 2．若关于 x 的方程 ax2﹣3x=2x2﹣2 是一元二次方程，则 a 的值不能为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．3
知识点二：一元二次方程一般形式
一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，这种
形式叫做一元二次方程的一般形式，其中 ax² 称为二次项，bx 成为一次项，c称为常数项，a为二次项系
数，b为一次项系数.
【提醒】
1. 任何关于 x 的一元二次方程都可以化成 ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，其中“a≠0”是一元二次方程一般
形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一，而 b,c 可以为 0.
2.任何一个一元二次方程经过整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式，因此不难
求出各项系数.
3.二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项都包含它前面的符号，一般情况下，二次项系数为
正数，若二次项系数不是正数，可以在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数，例如：方程-
2x²+3x+1=0 可化为 2x²-3x-1=0，其中二次项为 2x²，二次项系数为 2，一次项为-3x，一次项系数为-3，常
数项为-1.
例 1．方程 2x2﹣6x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
例 2．一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（　　）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
变式 1.将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x 化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=0
变式 2．关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0 的常数项是 0，则 m 的值（　　）
2
A．1 B．1 或 2C．2 D．±1
知识点三：一元二次方程的根
能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
【提醒】
一元二次方程的根必须满足两个条件：一是未知数的值；二是必须使方程的左、右两边相等.
例 1.若 2﹣ 是方程 x2﹣4x+c=0 的一个根，则 c 的值是（　　）
A．1 B． C． D．
例 2．关于 x 的一元二次方程 x2+a2﹣1=0 的一个根是 0，则 a 的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．1 或﹣1 D．3
变式 1.若 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的解，则（　　）
A．a+b+c=1 B．a﹣b+c=0 C．a+b+c=0 D．a﹣b﹣c=0
变式 2.若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 有一个根是 2，则 m+n=　 　．
拓展点一：一元二次方程的判断
例 1.若方程（m﹣2）x +（m+3）x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值．
例 2．x2a+b﹣2xa+b+3=0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 与 b 的值．
3
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