《人教版九年级数学上册教学案》21.1 一元二次方程讲义 教师版

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21.1 一元二次方程
一、教学目标
（1）会根据简单的实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想.
（2）了解一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式.
（3）会判断一个数是否是一个一元二次方程的解及利用他们解决一些具体问题.
二、教学重难点
（1）教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式，一元二次方程的根；
（2）教学难点：通过列出一元二次方程来解决实际问题；
知识点一：一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元
二次方程.
【提醒】
由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知
数的最高次数是 2.这样的方程才是一元二次方程.
例 1.下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是 2 次的整式方程，即
可判断答案．
【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；
B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
C、是一元二次方程，故本选项正确；
D、当 a b c 是常数，a≠0 时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；
1
故选：C．
【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有 3 个条件：①
整式方程，②含有一个未知数，③所含未知数的项的次数是 1 次．
例 2．下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（　　）
A．x2+ =1 B．ax2+bx+c=0 C．（x+1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=0
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：A、x2+ =1 是分式方程，故此选项错误；
B、ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误；
C、（x+1）（x+2）=1 是一元二次方程，故此选项正确；
D、3x2﹣2xy﹣5y=0 是二元二次方程，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
变式 1.若关于 x 的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是 2；
二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得
m﹣2≠0，
m≠2，
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二
次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a≠0）．特别要注意 a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知
2
识点．
变式 2．若关于 x 的方程 ax2﹣3x=2x2﹣2 是一元二次方程，则 a 的值不能为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】依据一元二次方程的一般形式进行判断即可．
【解答】解：∵关于 x 的方程 ax2﹣3x=2x2﹣2 是一元二次方程，
∴（a﹣2）x2﹣3x+2=0 是一元二次方程，
∴a﹣2≠0．
∴a≠2．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
知识点二：一元二次方程一般形式
一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，这种
形式叫做一元二次方程的一般形式，其中 ax² 称为二次项，bx 成为一次项，c称为常数项，a为二次项系
数，b为一次项系数.
【提醒】
1. 任何关于 x 的一元二次方程都可以化成 ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，其中“a≠0”是一元二次方程一般
形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一，而 b,c 可以为 0.
2.任何一个一元二次方程经过整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式，因此不难
求出各项系数.
3.二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项都包含它前面的符号，一般情况下，二次项系数为
正数，若二次项系数不是正数，可以在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数，例如：方程-
2x²+3x+1=0 可化为 2x²-3x-1=0，其中二次项为 2x²，二次项系数为 2，一次项为-3x，一次项系数为-3，常
数项为-1.
例 1．方程 2x2﹣6x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0），特别要注意 a≠0 的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中
3
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