《七年级数学上学期期末考点必杀200题（华师版）》第7讲 有理数的乘除法（解析版）

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第 7 讲 有理数的乘除法
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【基础知识】
考点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同 0 相乘，都得 0．
考点诠释： (1) 不为 0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-
2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有
奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0．
考点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0．反之，如果积为 0，那么至少有一个因数为 0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c
＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
a(b+c)＝ab+ac．
考点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数
相乘．如 abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如
a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
1
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆
用”．
考点二、有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数．
考点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是
1
2
，-2 和
1
2
是互相依存的；
(2)0 和任何数相乘都不等于 1，因此 0 没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即
1( 0)a b a b
b
 
.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.
考点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为 0 没有倒数，所以 0 不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
考点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最
后算出结果．
考点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算
括号里面的．
【考点剖析】
考点一：有理数的乘法运算
例 1．（台湾）算式（﹣1 ）×（﹣3 ）× 之值为何？（　　）
　 A． B． C． D．
【思路】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可
【答案】D．
【解析】
解：原式= × × = .
2
【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝
对值相乘．
例 2． (1)
5 4
( 3) 1 ( 0.25)
6 5
 
 
 
 
；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是
带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)
5 4
( 3) 1 ( 0.25)
6 5
 
 
 
 
5 9 1 9
36 5 4 8
   
；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)
19 -
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1      

个（ 1）相乘
；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个
数为 0 时，积为 0．
例 3.运用简便方法计算：
(1)
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
(3)
1 1 1
( 5) 3 2 3 ( 6) 3
3 3 3
 
【思路】 (1)根据题目特点，可以把
5
105 6
折成
5
105 6
 
，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结
合律，把第 1、4 个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．
【解析】
解：(1)
5
105 ( 12)
6
 
 
 
 
5
105 12 12
6
 
（分配律）
1260 10 1270   
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
3
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